Дійсні числа, цариця математика

Натуральні числа

Історично першими виникли натуральні числа $ N $, як результат перерахунку пердмет. Безліч цих чисел нескінченно і утворює натуральний ряд $ N = \ $. У цій множині здійсненні операції додавання і множення. Для виконання операції віднімання потрібні були нові числа, що призвело до появи безлічі цілих чисел: $ Z $. $ Z = N _ + \ cup N_- \ cup \ $. Таким чином в множині цілих чисел завжди виконуються операції додавання, множення, віднімання.

раціональні числа

Необхідність виконання ділення привела до безлічі раціональних чисел $ Q $. $ Q = \, m \ in Z, n \ in N \> $.

Визначення. Два раціональних числа рівні: $ \ frac = \ frac $ - якщо $ m_1 \ cdot n_2 = n_1 \ cdot m_2 $. Це означає, що будь-яке раціональне число можна представити єдиним чином у вигляді несократмой дробу $ \ frac $. $ НСД (m, n) = 1 $.

Властивості безлічі раціональних чисел

1. В результаті арифметичних операцій над раціональними числами (додавання, множення, віднімання, ділення, крім ділення на нуль) виходить раціональне число.

2. Безліч раціональних чисел впорядковано, тобто для будь-якої пари раціональних чисел $ a $ і $ b $ або $ ab $.

3. Безліч раціональних чисел щільно, тобто для будь-якої пари раціональних чисел $ a $ і $ b $ існує таке раціональне число $ c $, що $ a

Будь-яке позитивне раціональне число завжди можна представити у вигляді десяткового дробу: або кінцевої, або нескінченного періодичного. Наприклад: $ \ frac = 0,6 $, $ \ frac = 0,333. = 0, (3) $.

$ \ Frac = a_0, a_1a_1. a_kb_1b_2b_3. b_nb_1b_2b_3. b_n. $.

$ B_1b_2b_3. b_n. $ - називається періодом десяткового дробу, де не все $ b_i = 0 $.

Зауважимо, що кінцева дріб може бути записана у вигляді нескінченного періодичного з нулем в періоді. $ \ Frac = a_0, a_1a_1. a_k000000. $, $ A_k \ ne0 $.

Однак, частіше зустрічається інше уявлення раціональних чисел у вигляді десяткового дробу: $ \ frac = a_0, a_1a_1. (A_k-1) 999. $.

Негативні раціональні числа $ - \ frac $ запісиваютсяв вигляді десяткового розкладання раціонального числа виду $ \ frac $, взятого з протилежним знаком.

Число $ 0 $ представляється у вигляді $ 0,000. $.

Таким чином, будь-яке раціональне число завжди можна подати у вигляді нескінченного десяткового періодичної дробу яка не містить $ 0 $ у періоді, крім самого числа $ 0 $. Таке уявлення єдине.

ірраціональні числа

Безліч раціональних чисел замкнуто щодо чотирьох арифметичних операцій. Однак в безлічі раціональних чисел не завжди має місце рішення найпростішого рівняння виду $ x ^ 2-n = 0 $. Тому виникає необхідність введення нових чисел.

Покажемо, що серед раціональних чисел немає числа, квадрат якого дорівнює трьом. Доказ проведемо методом від противного.

Припустимо, що існує раціональне число $ \ frac $ таке, що його квадрат дорівнює трьом: $ \ left (\ frac \ right) ^ 2 = 3 \; \; \; (1) $.

Будемо вважати дріб $ \ frac $ нескоротного.

Права частина рівності (2) ділиться на 3. Виходить і $ m ^ 2 $ ділиться на 3, отже $ m $ ділиться на 3, а це означає, що $ m = 3k $. Підставами в рівність (2), отримаємо:

Ліва частина рівності $ (3) $ ділиться на $ 3 $, значить і права частина ділиться на $ 3 $. Отже $ n ^ 2 $ ділиться на $ 3 $, значить і $ n $ ділиться на $ 3 $, звідки $ n = 3p $. В результаті отримуємо: $ \ frac = \ frac $, тобто дріб $ \ frac $ виявилася скоротливості, що суперечить припущенню. Значить, серед раціональних чисел немає такого числа, квадрат якого дорівнює трьом.

Але число, квадрат якого дорівнює трьом, існує. Воно представимо у вигляді нескінченної неперіодичної дробу. І ми отримали новий вид чисел. Назвемо їх ірраціональними.

Визначення. Ірраціональним числом називається будь-яка нескінченна неперіодичних дріб.

Безліч всіх нескінченних неперіодичних дробів називається безліччю ірраціональних чисел і позначається $ I $.

Дійсні числа

Об'єднання безлічі раціональних чисел $ Q $ і ірраціональних чисел $ I $ дає безліч дійсних чисел $ R $: $ Q \ cup I = R $.

Таким чином будь-яке дійсне число можна подати у вигляді нескінченного десяткового дробу: періодичної в разі раціонального числа і неперіодичної в разі ірраціонального числа.

Порівняння дійсних чисел

Для дійсних чисел $ a = a_0, a_1a_2a_3 \ ldots a_n \ ldots $, $ b = b_0, b_1b_2b_3 \ ldots b_n \ ldots $ порівняння здійснюється наступним чином:

1) Нехай $ a $ і $ b $ обидва позитивні: $ a> 0 $, $ b> 0 $, тоді:

$ A = b $, якщо для будь-якого $ k $ $ a_k = b_k $;

$ A> b $, якщо $ \ exists s $ $ \ forall kb_s $.

2) Нехай $ a> 0 $, $ b<0$, или иначе: $b<0

3) Нехай $ a $ і $ b $ обидва негативні: $ a<0$, $b<0$, тогда: