Диференціали вищих порядків

Нехай у = f (х) диференційовна функція, а її аргумент х- незалежна змінна. Тоді її перший диференціал dy = f '(x) dx є також функція від х; можна знайти диференціал цієї функції.

Диференціал від диференціала функції у = f (х) називається її другим диференціалом (або диференціалом другого порядку) і позначається d 2 y або d 2 f (x):

d 2 y = f '' (x) dx 2

Тут dx 2 позначає (dx) 2.

Аналогічно визначається і знаходиться диференціал третього порядку: d 3 y = d (d 2 y) = d (f '' (x) dx 2) = f '' '(x) dx 3.

Взагалі, диференціал n- го порядку є диференціал від диференціала (n- 1) - го порядку: d n y = d (d n - 1 y) = f (n) (x) (dx) n.

Звідси знаходимо, що f (n) (x) = d n y. Зокрема, при n = 1, 2, 3 відповідно отримуємо: dx n

тобто похідну функції можна розглядати як

ставлення її диференціала відповідного порядку до відповідного ступеня диференціала незалежної змінної.

Відзначимо, що всі наведені вище формули справедливі тільки, якщо х - незалежна змінна.

Приклад. Знайти d 2 y. якщо y = e 3 x і х - незалежна змінна. Рішення. так як y '= 3 e 3 x. y '' = 9 e 3 x. то маємо d 2 y = 9 e 3 x dx 2.

Правила Лопіталя

Правила Лопіталя застосовуються для розкриття невизначеностей виду 0 0 і ∞ ∞. які називаються основними.

Теорема 3. (Правило Лопіталя розкриття невизначеностей виду 0 0).

Нехай функції f (x) і g (x) неперервні і мають похідні в околиці точки х 0 і

звертаються в нуль в цій точці: f (x 0) = g (x 0) = 0. Нехай g '(x) ≠ 0 в околиці точки x 0. Якщо