Ця загадкова пляшка Клейна, соціальна мережа працівників освіти
У минулому році на науково-практичній конференції я виступав з дослідницькою роботою на тему: «Цей дивовижний лист Мебіуса». Я дізнався, що лист Мебіуса поверхню одностороння, тому повинен володіти певними властивостями, які я згодом виявив і довів. Вивчаючи всі аспекти даної теми, я дізнався, що існує безліч односторонніх поверхонь, досліджувати які теж можна. З усього переліку поверхонь я вибрав так звану пляшку Клейна, так як вона безпосередньо пов'язана з листом Мебіуса і, дійсно, є загадковою. Я доведу це і познайомлю вас з дивовижним дивом сучасної науки.
Я вважаю, що моя робота актуальна, так як в науці математиці є стільки нерозгаданих таємниць і секретів, які не включені в програму шкільної освіти. Але на основі цих секретів створено багато корисних речей і винаходів, тому вивчення цих секретів просто необхідно.
У багатьох учнів зараз недостатньо розвинена просторова уява. Сьогодні в математичну життя увійшла комп'ютерна геометрія, що дозволяє уявити складні математичні моделі. Паперове моделювання розвиває розумові здібності і просторову уяву, тому що на пальцях рук знаходиться багато нервових закінчень, що впливають на роботу мозку.
Я вибрав тему пляшка Клейна, тому що вважаю, що вона має найбільш важливе наукове і практичне значення.
Я вважав важливим показати, що дана поверхня повна несподіванок. Я припускаю, що пляшка Клейна, як топологічна фігура, володіє подібними з листом Мебіуса властивостями і може бути сконструйована різними способами.
Пляшка Клейна як модель односторонньої поверхні.
Властивості односторонньої поверхні на прикладі пляшки Клейна.
Мета роботи. сконструювати модель пляшки Клейна, визначити і перевірити дивовижні властивості пляшки Клейна.
Відповідно до поставленої мети і висунутої гіпотезою визначилися наступні завдання:
1. вивчення літератури;
2. вивчення історії винаходу пляшки Клейна;
3. опис пляшки Клейна і процесів її виготовлення;
4. показ використання пляшки Клейна на практиці;
5. порівняння пляшку Клейна з листом Мебіуса;
6. Розробка та проведення практичного заняття для учнів;
7. розробка рекомендацій для учнів, вчителів.
1. Бібліографічний метод дослідження
2. Практичний експеримент.
Теоретична значимість моєї роботи в тому, що в останнє сторіччя великий вплив на ряд різних областей знань придбала нова гілка геометрії - топологія. У наш час ця наука бурхливо розвивається і знаходить застосування в різних областях. Однак їй не приділяється належної уваги в шкільному курсі геометрії.
Глава 1. Ф. Х. Клейн і його відкриття.
- Що таке пляшка Клейна
Пляшка Клейна - певна неоріентіруемая поверхню першого роду, тобто поверхню, у якій немає різниці між внутрішньою і зовнішньою сторонами, і яка, таким чином, в просторі обмежує собою нульовий обсяг. Назва, очевидно, походить від неправильного перекладу німецького слова Fläche (поверхню), яке в німецькій мові близько за написанням до слова Flasche (пляшка). (Див. Додаток 1 - «Пляшка Клейна»).
- Історія винаходу пляшки Клейна
Фелікс Християн Клейн (1849 - 1925) - німецький математик. Все своє життя Клейн намагався розкрити внутрішні зв'язки між окремими гілками математики, а також між математикою, з одного боку, і фізикою і технікою - з іншого. Його роботи дивно різноманітні. Це і дозвіл рівнянь 5-й, 6-й і 7-го ступеня, і інтегрування диференціальних рівнянь, і дослідження абелевих функцій, і неевклідова геометрія. Намагаючись довести несуперечність геометрії Лобачевського. винайшов відкриття вражаючої краси - свою пляшку в 1882 р Це блискучий і дуже наочний приклад односторонньої поверхні. У ній з усією повнотою проявився і талант математика, і дар видатного викладача. (Див. Додаток 2 - Ф. Х. Клейн).
1.3. Порівняльна характеристика пляшки Клейна і листа Мебіуса
З метою підтвердження гіпотези я вирішив порівняти пляшку Клейна з об'єктом дослідження моєї минулорічної роботи - з листом Мебіуса. І результат був дивний - все властивості двох фігур абсолютно ідентичні. (Див. Додаток 3 - Порівняльна характеристика). Отже, пляшка Клейна, подібно листу Мебіуса є топологічним об'єктом. Значить, пляшка Клейна володіє топологічними властивостями.
1.4. Топологічні властивості пляшки Клейна
Топологічним властивістю (або топологічним інваріантом) геометричних фігур називається властивість, яким разом з даної фігурою володіє також будь-яка фігура, до якої вона переходить при топологічному перетворенні.
До топологічним властивостями пляшки Клейна відносяться:
1.хроматіческій номер. Він дорівнює максимальному числу областей, які можна намалювати на поверхні так, щоб кожна з них мала спільний кордон з усіма іншими. Якщо кожну таку область пофарбувати по-різному, то будь-який колір повинен бути сусідами з будь-яким іншим. Хроматичний номер пляшки Клейна - 6. Звичайно ж, таке не вкладається в голові. Є стародавня нерозв'язна задача. Треба з'єднати три будинки з трьома колодязями, але так, щоб жителі кожного з будинків могли ходити по воду в будь-який колодязь і при цьому шляху їх ніде не перетиналися. Зробити це не примудрився ніхто, але лише порівняно недавно математики строго довели, що завдання нерозв'язна. Якщо склеїти цю смужку паперу так, щоб збіглися однакові букви на її краях, то проблема водопостачання вирішується. А тепер розфарбуйте карту шляхів водовозів - і ось вам шість кольорів, що живуть в дружному сусідстві. Але, звичайно, як і раніше, треба припускати, що всі події відбуваються не на пляшці, а всередині неї. Іншими словами, фарби повинні проникати крізь папір, як чорнило крізь промокашку. (Див. Додаток 4 - Властивості пляшки Клейна).
2.непреривность. Якщо ви порівняєте схему літакових маршрутів і географічну карту, то переконаєтеся, що масштаб Аерофлотом далеко не витриманий - скажімо, Свердловськ може виявитися на півдорозі від Москви до Кременчука. І все-таки щось спільне між географічною картою є. Київ дійсно пов'язана зі Свердловськом, а Свердловськ - з Кременчуком. І тому тополог може як завгодно деформувати карту, аби точки, які раніше були сусідами, залишалися одна біля одної і далі. А, значить, з топологічної точки зору коло відрізняється від квадрата або трикутника, тому що їх легко перетворити один в інший, не порушуючи безперервності.
3.оріентірованность. Звичайно, можна було детально розповісти, що це таке. Але краще дати визначення «від противного»: це те, чого немає у пляшки Клейна! Уявіть, що в ній укладено цілий плоский світ, де є тільки два виміри, а його мешканці - не симетричні пики, які не мають, як і сама пляшка ніякої товщини. Якщо ці нещасні створіння пропутешествуют по всіх вигинів пляшки і повернуться в рідні пенати, то в подиві виявлять, що перетворилися в своє власне дзеркальне відображення. Звичайно, все що трапиться тільки, якщо вони живуть в пляшці, а не на ній.
Вивчивши літературу, розглянувши історію винаходу пляшки Клейна і, провівши порівняльну характеристику, з'ясував, що пляшка Клейна є односторонньою поверхнею, топологічним об'єктом і має топологічними властивостями.
Глава 2. Ця загадкова пляшка Клейна
2.1. Конструювання пляшки Клейна
Я з'ясував, що пляшка Клейна - це одностороння неоріентіруемая поверхню. Вона не може бути вкладена в R 3. а значить, в ідеальному вигляді не може бути отримана. Тому, я припустив, що в R 3 можна сконструювати тільки модель пляшки Клейна, та ще й з різних матеріалів і в різний спосіб.
Спосіб № 1. Отримання пляшки Клейна з паперу. Перш за все, потрібно взяти паперовий квадрат, перегнути його навпіл і з'єднати клейкою стрічкою його боку. На зверненої до вас половині квадрата зробіть проріз, перпендикулярну склеєним сторонам. Відстань між прорізом і верхнім краєм трубки має дорівнювати приблизно чверті боку квадрата. Зігнувши модель навпіл уздовж пунктирною прямий, протягнете нижній край трубки крізь проріз і склейте між собою верхнє і нижнє підстави трубки. Правда, там, де поверхня самопересекающиеся, в нашій моделі проріз, але легко уявити собі, що краю цієї прорізи з'єднані так, щоб поверхня у всіх своїх точках була неперервна і не мала краю. (Див. Додаток 5а - Конструювання пляшки Клейна).
Спосіб № 2. Отримання пляшки Клейна з стандартної пластмасової пляшки. Необхідно взяти пляшку з отвором в денці, витягнути шийку, зігнути його вниз, і протягнувши його через отвір в стінці пляшки (для справжньої пляшки Клейна в чотиривимірному просторі цей отвір не потрібно, але без нього не можна обійтися в тривимірному евклідовому просторі), приєднати до отвору на дні пляшки. (Див. Додаток 5б - Конструювання пляшки Клейна).
Спосіб № 3. Отримання пляшки Клейна з одного циліндра. Один з країв циліндра згинається в зворотну сторону, проходить крізь циліндр і склеюється з іншим краєм. Щоб зробити це склеювання, необхідно спотворити ширину циліндра. (Див. Додаток 5в - Конструювання пляшки Клейна).
Спосіб № 4. Отримання пляшки Клейна з тканини. Доцільно взяти шматок носка або колготок і зробити з ними те ж, що і з циліндром. (Див. Додаток 5г - Конструювання пляшки Клейна).
Спосіб № 5. Отримання пляшки Клейна склеюванням двох листів Мебіуса. Пляшка Клейна може бути отримана склеюванням двох стрічок Мебіуса по краю. Однак в звичайному тривимірному евклідовому просторі R 3 зробити це, не створивши самопересеченія, неможливо. Тому Пляшка Клейна не може бути вкладена (тільки занурена) в тривимірне евклідів простір R 3. але вкладається в R 4. (Див. Додаток 5д - Властивості пляшки Клейна).
Спосіб № 6. Отримання пляшки Клейна з пластиліну. Ставлячись до своєї роботи з творчістю, я придумав спосіб, принцип якого не спостерігається у перерахованих вище. Щоб отримати пляшку Клейна з пластиліну, потрібно взяти пластилін і «будувати» пляшку, починаючи знизу. (Див. Додаток 5е - Конструювання пляшки Клейна).
2.2. Застосування пляшки Клейна
Пляшка Клейна в літературі
Великий Фелікс,
Славний Клейн,
Мудрець з Геттінгена,
Вважав, що Мебіуса лист-
Дар понад незрівнянний.
Гуляючи якось раз в саду.
Вигукнув Клейн наш палко:
"Завдання просте -
Візьмемо два листа
І склеим з них пляшку. "
Пляшка Клейна в мистецтві
Зрідка зустрічається сувенір у вигляді скляної пляшки Клейна. Для виготовлення такої пляшки потрібен склодув високої кваліфікації.
У серіалі Футурама в серії «The Route of All Evil» на полиці показано пиво Klein's, яке розлите в пляшки Клейна.
Пляшка Клейна як початок для нової професії
Якщо ми пустимо мурашки повзати по пляшці Клейна і побачимо, що, чи не переповзаючи жодного разу через край, мандрівник побуває і зовні і всередині свого топологічного мурашника. Американські хмарочоси породили нову професію - висотні мийники стекол. Ці безстрашні люди очищають бруд тільки з одного боку - зовні, а їх менш кваліфіковані побратими по цеху - тільки всередині. Уявіть собі жах «кімнатного» мийника, якщо, рухаючись вздовж скла, він раптом виявиться над Нью-Йорком на висоті тридцятого поверху! Добре, що людські мурашники поки ще не використовують фантазію топології.
Пляшка Клейна і виготовлення скла
Як вже було сказано, пляшку Клейна можуть виготовити тільки висококваліфіковані склодуви. Але і вони не зможуть її виготовити в справжньому вигляді, так як місце самопересеченія буде запаяні. Але, не дивлячись на це, вони відливають пляшки в якості сувенірів і навіть змагаються, у кого краще і більше вийшла пляшка. (Див. Додаток 6 - Пляшка Клейна і виготовлення скла).
2.3. Практичне заняття для учнів
Мною була проведена практична робота з ознайомлення учнів із загадковою пляшкою Клейна. Ми разом з учнями вирішили, що тема «Пляшка Клейна» повинна бути включена в програму з математики в якості додаткового матеріалу (Див. Додаток 7 - Практичне заняття, тема: «Пляшка Клейна»). В кінці моєї практичної роботи кожен учень отримав буклет з інформацією про пляшку Клейна (Див. Додаток 8 - Буклет).
Висновок: провівши ряд дослідів по отриманню пляшки Клейна, я сформулював кілька способів отримання моделей пляшки, які з задоволенням представлю публіці. Я показав практичне застосування пляшки Клейна і зрозумів, що без неї в деяких професіях, зокрема, в мистецтві було б важко. Найелементарніші сувенір у вигляді пляшки Клейна дивні, а відповідно до менталітетом людей, все б їх купували. Таким чином, пляшка Клейна придбала б популярність, і з'явилося б багато ентузіастів, які бажають розгадати її секрет! Продовжуючи своє дослідження, я розробив практичне заняття для учнів і провів його. Я вважаю, що такі заняття необхідні, тому що вони розширюють кругозір знань і допомагають навчитися чомусь новому, що можливо стане в нагоді в майбутньому.