циклічні групи

Безліч елементів з групи G називається породжує, якщо G виходить замиканням цього безлічі щодо групової операції.

Група, породжена одним елементом, називається циклічною.

Слідство 2.3. Будь-яка група містить циклічну підгрупу.

Доведення. Нехай a -Елемент групи G. Безліч є циклічною підгрупою.

Порядок циклічної підгрупи, породженої елементом a. називається порядком елемента.

Властивість 2.8. Якщо елемент a має порядок n. то a n = e.

Доведення. Розглянемо послідовність. Оскільки число членів в послідовності нескінченно, а для ступенів елемента a існує кінцеве число можливостей, то в послідовності зустрінуться однакові члени. Нехай. де k

Порядок будь-якого елементу є дільником порядку групи, отже, a | G | = E для будь-якого елемента групи.

Слідство 2.4. Порядок групи ділиться без залишку на порядок будь-якого елементу групи.

Теорема 2.4 (про циклічні групах)

I. Для будь-якого натурального n існує циклічна група порядку n.

II. Циклічні групи однакових порядків ізоморфні між собою.

III. Циклічна група нескінченного порядку ізоморфна групі цілих чисел.

IV. Будь-яка підгрупа циклічної групи циклічна.

V. Для кожного дільника m числа n (і тільки для них) в циклічній групі n -го порядку існує єдина підгрупа порядку m.

Доведення. Безліч комплексних коренів ступеня n з 1 щодо операції множення утворює циклічну групу порядку n. Тим самим перше твердження доведено.

Нехай циклічна група G порядку n породжена елементом a. а циклічна група H. того ж порядку, породжена елементом b. Відповідність взаємно однозначне і зберігає операцію. Друге твердження доведено

Циклічна група нескінченного порядку, породжена елементом a, складається з елементів. Відповідність є взаємно однозначним і зберігає операцію. Таким чином, третє твердження доведено.

Нехай H - підгрупа циклічної групи G. породженої елементом a. Елементи H є ступенем a. Виберемо в H елемент, який є найменшою за абсолютною величиною ненульовий ступенем a. Нехай це елемент. Покажемо, що цей елемент є породжує в підгрупі H. Візьмемо довільний елемент з H. Твір міститься в H при будь-якому r. Виберемо r рівним частці від ділення k на j. тоді k-rj є залишок від ділення k на j і, отже, менше j. Оскільки в H немає елементів, які є не нульовим ступенем a, менше ніж j. то k-rj = 0, і. Четверте твердження доведено.

Нехай циклічна група G порядку n породжена елементом a. Підгрупа, породжена елементом. має порядок m. Розглянемо підгрупу H порядку m. Виберемо в H елемент, який є найменшою за абсолютною величиною ненульовий ступенем a. Нехай це елемент. Покажемо, що j = n / m. Елемент належить H. Отже, відмінне від нуля число виду rj-nv по абсолютній величині не менше j. що можливо тільки якщо n ділиться на j без залишку. Підгрупа, породжена. має порядок n / j = m. отже, j = n / m. Оскільки породжує елемент підгрупи визначається однозначно за її порядку, то п'ятий твердження доведено.