Чотири лекції з кінематики матеріальної точки

Обертальний рух. Рівномірний рух точки по колу. Вектор кутової швидкості. кутове прискорення

При рівноприскореному русі частинка рухається весь час в одній площині, утвореної початковим вектором швидкості v (0) і постійним прискоренням a (доведіть це). Однак очевидно, що далеко не всяке плоский рух є рівноприскореному. Приклад плоского неравноускоренного руху, відомий вам зі шкільного курсу фізики, - це рівномірний рух по колу. Давайте розглянемо його тут. Оскільки це рух плоске, виберемо в якості цієї площини, площину XY. Початок координат виберемо в центрі кола (мал. 1).

Мал. 1. Рівномірний рух по колу.

Координати частки висловимо через величину радіуса кола r і кут # 945 ;.

Оскільки рух відбувається по колу, r від часу не залежить. Функцією часу є тільки кут # 945; (T). Похідна від кута по часу називається кутовою швидкістю обертання # 969 ;.

З порівняння двох цих виражень одержуємо, що. Таким чином, вектор прискорення антирівнобіжний вектору r. тобто спрямований до центру. В результаті картина напрямків векторів виглядає, як показано на рис. 2.

Мал. 2. Радіус-вектор, швидкість і прискорення матеріальної точки при рівномірному русі по колу.

До сих пір при розгляді обертового руху ми оперували проекціями векторів на осі координат. Тим часом, часто буває корисно мати співвідношення, які не залежать від вибору системи координат, або, як кажуть, записані в векторній формі. Прикладом таких співвідношень є вираз для координати і швидкості частки при рівноприскореному русі (див. Лекцію 2).

При розгляді обертового руху ми ввели кутову швидкість обертання # 969; як похідну за часом від кута повороту # 945 ;. # 969; = D # 945; / Dt. Давайте тепер задамося питанням, який величиною, скалярною або векторної, є кут повороту. Адже коли говорять про поворот, потрібно вказувати не тільки величину кута повороту, а й те, навколо якої осі відбувається обертання (поворот) і в який бік (за годинниковою стрілкою або проти). У розібраному вище прикладі віссю обертання була вісь z і, оскільки ми використовували праву систему координат, обертання відбувалося за годинниковою стрілкою (якщо дивитися в позитивному напрямку вздовж осі z) (мал. 3).

Мал. 3. Напрямок обертання.

З цієї точки зору кут повороту повинен бути величиною векторною. Однак, як ми переконаємося на наступній лекції, довільний кут повороту вектором, взагалі кажучи, не є. Поняття вектора може бути застосовано лише по відношенню до нескінченно малим кутах повороту.

Тому, кажучи про поворот на якийсь малий кут # 916; # 945 ;. можна наближено говорити про вектор # 916; # 945; . величина якого дорівнює куту повороту, а напрямок показує напрям осі обертання так, щоб поворот відбувався за годинниковою стрілкою, або відповідно до правила свердлика. У нашому конкретному випадку вектор # 916; # 945; коллінеарен з напрямком осі z. Задамося питанням, як пов'язано переміщення матеріальної точки # 916; r при повороті її радіус-вектора r на малий кут # 916; # 945; (Мал. 4).

Мал. 4. Зв'язок вектора переміщення з кутом повороту.

На це питання легко відповісти, якщо мова йде про нескінченно малих поворотах d # 945; . Тоді нескінченно малим є і переміщення dr. Його величина (рівна довжині хорди) збігається тепер з довжиною дуги, тобто

а по напрямку вектор dr збігається з дотичною, тобто перпендикулярний r. В результаті ми маємо три взаємно перпендикулярні вектора r. dr і d # 945; . утворюють праву трійку (мал. 5),

Мал. 5. Взаємна орієнтація трьох векторів.

причому | dr | = | D # 945; | | R |. Ті, хто пам'ятають зі шкільного курсу про векторному добутку векторів, без праці збагнуть, що шукане співвідношення можна записати у вигляді векторної рівності

Дійсно, за визначенням, векторних твором двох векторів [A × B] називається вектор

який спрямований перпендикулярно площині, в якій лежать (або яку утворюють) два вектора A і B. в сторону від цієї площини, відповідну правилом свердлика (см. рис. 6).

Мал. 6. Оpіентація тpех вектоpов в векторному добутку.

Величина ж вектора C дорівнює добутку модулів векторів на синус кута між ними:

У нашому випадку кут між векторами d # 945; і r дорівнює 90 °. так що синус дорівнює одиниці. А оскільки, як ми вже писали, | dr | = Rd # 945 ;. то ми переконуємося в справедливості векторного співвідношення dr = [d # 945; × r].

Розділивши обидві сторони цієї рівності на нескінченно малий проміжок часу dt. протягом якого відбулася зміна вектора r на dr. ми отримаємо

Але величина, що стоїть в лівій частині рівності, є не що інше, як швидкість частинки v. а похідна

називається вектором кутової швидкості. Її ми спочатку ввели по абсолютній величині, а тепер показали, що має сенс говорити про кутову швидкість обертання як про вектор. Її величина визначає величину кутової швидкості (швидкість обертання, або швидкість зміни кута), а напрямок паралельно осі обертання, причому так, що має місце правило гвинта. Отже, ми отримали, що

Оpіентація цих тpех вектоpов показана на мал. 7.

Мал. 7. Орієнтація радіус-вектора, вектора швидкості і кутової швидкості.

Щоб отримати прискорення a. треба від обох частин взяти похідну по часу. якщо # 969; постійно (як за величиною, так і за напрямком) 1. то

тобто прискорення виявляється перпендикулярним кутової швидкості обертання # 969; і швидкості руху v. А оскільки остання спрямована по дотичній, то, значить, прискорення направлено або паралельно r. або антипараллельно. Як саме, можна з'ясувати, підставивши в вищенаведену формулу значення v. 2

Оскільки в розглянутому нами прикладі початок кооpдінат вибратися в центpе окpужності, то кутова швидкість # 969; і радіус-вектор r перпендикулярні один одному а, отже, їх скалярний добуток дорівнює нулю (взагалі кажучи, як ми зараз побачимо, далеко не завжди) і ми отримуємо

тобто антипаралельність векторів a і r (згадайте термін «доцентровийприскорення»). За величиною вони такі: | a | = # 969; 2 | r |. тобто маємо вже знайомий результат.

Ви можете запитати, навіщо нам знадобилося мати справу з векторним і з подвійним векторним твором, якщо ми вже розібрали рух по колу, диференціюючи за часом проекції матеріальної точки на осі координат (причому отримали результати, відомі зі шкільної лави). Чи варта гра свічок? Так, варто, по-перше, тому, що ми записали закони руху в інваріантної. як кажуть, формі, що не залежить від вибору конкретної системи координат. По-друге, записані нами співвідношення справедливі і в більш загальному випадку, коли ми розглядаємо обертання системи матеріальних точок або твердого тіла як цілого (мал. 8).

Мал. 8. Обертання твердого тіла.

Маючи на увазі цю картину, неважко показати, що тут, хоча # 969; і r НЕ перпендикулярні один одному, тим не менш, виконується колишнє співвідношення для швидкості руху деякої обраної нами точки з радіус-вектором r.

Дійсно, як випливає з рис. 8. точка рухається по колу радіуса # 961; = R sin # 946; зі швидкістю # 965; = # 969; # 961; = # 969; r sin # 946 ;. але оскільки # 946; - це кут між векторами # 969; і r. ми переконуємося в справедливості цієї формули.

Тепер нам зрозуміло походження додаткової складової в доцентровому прискоренні (див. Мал. 9):

Мал. 9. Доцентрове прискорення.

Таким чином, прискорення a насправді спрямоване не до центру, а до осі обертання, тому його можна було б називати осестремітельним. Але, зрозуміло, справа не в назвах.

На користь співвідношення v = [# 969; × r] говорить і те, що воно справедливо в більш загальному випадку, коли вектор кутової швидкості # 969; не є постійним і залежить від часу: # 969; (T). Тоді формула для прискорення зміниться - в ній з'явиться додаткове доданок:

величина # 946; = D # 969; / Dt називається кутовим прискоренням. Воно з'являється, якщо змінюється за величиною кутова швидкість (сповільнюється, наприклад, обертання навколо фіксованої осі) або повертається з плином часу сама вісь обертання (або і те й інше).

Мал. 10. Взаємне розташування одиничних ортов.

На закінчення для довідок наведемо вираз для декартових компонент векторного витвори C = [A × B].