Число як суще, реферати

Число як суще

Число розуміється і приймається (багатьма) античними мислителями як перша сутність, яка визначає всі різноманітні внутрікосміческіе зв'язку світу, заснованого на міру і числі, пропорційного (симетричного) і гармонійного. Яким же мислителям властивий такий погляд?

Серед грецьких мислителів насамперед піфагорійці, а слідом за ними і академіки звертали особливу увагу на роль числа в пізнанні і конституювання світу: «Числу всі речі подібні», - стверджує Піфагор. Не слід, однак, розуміти це твердження так, як тлумачить його Аристотель, а саме, що всі речі складаються з числа, оскільки число допустимо лише мислити, але не можна шукати серед речей. Як пояснює освічена Теано, «і багато елліни, як мені відомо, думають, ніби Піфагор говорив, що все народжується з числа. Але це вчення викликає подив: яким чином те, що навіть не існує, мислиться породжує? Тим часом, він говорив, що це виникає ні з числа, а згідно з кількістю, так як в числі - перший порядок, по причетності якій і в счислімим речах встановлюється щось перше, друге і т. Д. »

Таким чином, число виступає як принцип пізнання і породження, бо дозволяє щось розрізняти, мислити як певне, вносити межа у світ і думка. Тому число - перше з сущого, чисте буття, - як таке воно є щось божественне: «... Природа числа, - говорить Філолай, - пізнавальна, предводітельна і учительна для всіх у всьому незрозумілому і невідомому. Справді, нікому не була б зрозуміла жодна з речей - ні в їх відношенні до самих себе, ні в їх відношенні до іншого, якщо б не було числа і його сутності ». Число є чисте ідеальне буття, перший образ потворного Блага і перший прообраз всього існуючого. Тому число - найбільш достовірне і дійсне, перше у всій ієрархії сущого, початок космосу.

Число відіграє головну роль і в так званому неписані, або езотеричному, вченні Платона, незафіксованому в текстах самого Платона і дійшов до нас лише в реконструйованому вигляді з окремих свідчень його учнів і послідовників. Згідно з цим вченням, сліди якого ми знаходимо у Аристотеля, його найближчого учня Теофраста і пізньоантичних неплатників, в основі всього лежить одиниця - початок тотожності, принцип форми і невизначена двоица - принцип інакшості, або матерії, якими і породжується вся ієрархія сущого - ейдоси і числа , душі і геометричні об'єкти, фізичні тіла. Принцип числа виявляється тим підставою, на якому спочиває (пізніша) античне світогляд з його загостреним переживанням буття, присутнього в космосі, але не змішаного з ним.

У арифметиці піфагорійців основним (і, може бути, початковим) слід вважати перш за все розподіл чисел на парні, непарні і парному-непарне первинне число (одиниця). Цьому потрійного поділу складають паралель три види чисел, відкритих піфагорійцями: так звані квадратні, прямокутні і трикутні числа. Квадратні числа виходять через складання непарних: 1 + 3 = 4 = 22, 1 + 3 + 5 = 9 = 32; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 і т. Д. Прямокутні числа виходять через складання парних: 2 + 4 = 6 = 2 х 3; 2 + 4 + 6 = 12 = 3 х 4 і т. Д. Трикутні числа виходять через складання по порядку парних і непарних чисел:

в піфагорейської школі рано було відкрито також взаємовідношення квадратів чисел (вчення про суму квадратів чисел). Далі у них ми знаходимо вчення про середні величини, т. Е. Про пропорції і відношення величин. Налічувалося всього десять видів «середніх величин». З них три види: так зване арифметичне, геометричне і гармонійне середнє увійшли в сучасну математику під назвою безперервних пропорцій (арифметична безперервна пропорція а - з = з х b, геометрична а: з = з: b, і гармонійна (а - b): (b - c) = a: c; таким чином, середнє арифметичне двох величин одно. середнє геометричне аb і середнє гармонійне. з піфагорейської ж школи вийшла піфагорова таблиця множення, вписана в чотирикутник. Розмірковуючи над підставами математичного рахунку привели піфагорійців до поклоніння ю священної декаді. Всі інші числа суть для них прості повторення перших десяти. Декаду вони ототожнювали з четвіркою, так як сума перших чотирьох чисел дорівнює 10. священними числами вважалися переважно одиниця, як першооснова чисел, трійця, так як справжню єдність вони вважали триєдністю , четверица, як що містить у собі таємницю декади, і, нарешті, сама десятка.

До пифагорейским відкриттів в геометрії належить перш за все так звана піфагорова теорема (в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів). Інша теорема, відкрита Піфагором, говорить про суму кутів в трикутнику (= 2d). Сам Піфагор відкрив несумірність діагоналі квадрата з його стороною. У стереометрії піфагорійці перші відкрили 5 правильних геометричних тіл: куб, тетраедр, октаедр, ікосаедр і додекаедр.

Одиниця і двоица

Яким же чином влаштується саме число? Головна роль тут відводиться одиниці. Одиниця - перше і найбільш точне відображення первоедіного Блага. Одиниця і є перший початок - сущого, пізнання, самого числа. Одиниця - 1) перша з сущого, саме мислиме буття. Одиниця - 2) поза становлення, представляє єдине - початок сущого, не схильне до виникнення, і по суті є початок об'єднує, стримуючий і відокремлювався буття від становлення. Далі, одиниця 3) проста, Бесчастний і неподільна, не має ніяких частин. За влучним визначенням Евкліда, 4) одиниця «є те, через що кожне з існуючих вважається єдиним», т. Е. Саме ту обставину, що речі в світі текучого і минущого все ж окремими, поодинокі, обумовлено передування їм за буттям одиниці. Тому-то 5) одиниця - прояв первоедіного - і є перший початок всього, також і самого числа, і його міра. Отже, за словами латинського неоплатоника Макробия, одиниця - образ єдиного, джерело і початок числа, монада, прообраз, - початок і кінець усіх речей.

Поряд з однією-єдиною одиницею має бути і початок множинності, відмінне від одиниці (бо вона одна), початок мультиплицирующее і розмножуватися. Подібний початок піфагорійці, а слідом за ними платоники називають невизначеною двійці.

І якщо одиниця - початок точності, визначеності і незмінності, то двоица - неточності, невизначеності та мінливості. Двійця представляє множинність, чисту інакшість, невпорядкованість і неоформленість. Тому-то двійка - 1) друга, наступна після одиниці, є самий принцип прямування; більш того, вона представляє закінчену ієрархії цілого як матерія. Двійця, або діада, 2) відповідальна за наявність в світі нерівного і стає, тому вона - невизначене, т. Е. «Велике і мале», «більш-менш». Двійка - 3) складова, має частини, ділена. Крім того, завдяки їй 4) будь-яке існуюче прагне покинути своє наявне стан, перетворитися в щось інше. Нарешті, 5) диада не може служити мірою, хоча теж є початком.

Двійця - це принцип рефлексії (саме тому без неї, без інакшості, немає ні буття, ні пізнання), вона ніби дзеркало, яке залежить від першого, від одиниці, що відображає те, чим саме не володіє, залежне від першого, одиниці і тим самим «розставляє», розмножуються її, неумножімую саму на себе. Синтез ж двох начал вперше проявляється в трійці.

Тим часом одиниця - не числом, а підстава числа. Одиниця виступає як форма числа (позитивний принцип), а двоица - його матерія (негативний принцип). Принцип множинності, звернений на саму першу і єдину одиницю, примножує її в дві і в безліч одиниць, бо там, де належить інше, друге, належить і все безліч одиниць. З цих-то неподільних, але тепер уже багатьох одиниць і складається число - чи не механічна їх сума, але органічне, синтетичне єдність.

Таким чином, число - це синтез межі і безмежного, тотожного і інакшості, єдино-множинне.

Тим часом, піфагорійцями було відкрито властивість несумірності величин; наприклад, щодо діагоналі квадрата до його стороні неминуче присутня якась ірраціональність, оскільки відношення це не може бути виражено ні числом, ні співвідношенням чисел, - стало бути, його не можна помислити (хоча і можна уявити наочно в уяві). Це не означає, що числа самі по собі не можна порівнювати: їх міра незмінна - це неподільна одиниця, - але значить, що навіть число виявляється нездатним повністю, до кінця і без залишку виміряти, визначити і пронизати собою видимий світ. Крім незмінних точних чисел та ейдосу, в світі завжди присутня якась аберація, спотворення, яке не може бути скасовано і пізнано навіть числом.

Міра. Математичне і ідеальне число

Зовсім особливе місце в грецькому умосозерцаніі займає поняття міри. «Нічого занадто», нічого надміру, - один з фундаментальних і в той же час найбільш сокровенних заповітів античної культури може служити підтвердженням цього. Все, що перевищує міру, ухиляється в ту чи іншу крайність, невгамовна і надмірне, і представляє стає на зло, і приречене смерті.

Тому для греків мудрий і вільний - той, хто дотримується у всьому міру. Міра ж перш за все пов'язана з числом, бо міра - точна, поза приблизності і непізнаваності «більш-менш», визначена, т. Е. Причетна межі, і, як і справжнє знання, не може бути іншою.

Античні мислителі вводять різноманітні і досить тонкі розрізнення, пов'язані з числом, роблячи спроби, особливо приватні в пізньої античності, в неопіфагореізма і неоплатонізмі, тлумачення значень тих чи інших чисел (наприклад, у Ямвлиха і Анатолія) в межах першої десятки. Грунтуючись на піфагорейської аритмології, Платон в кінці життя розвиває вчення про різні типи числа - математичному і пояснюється факт, що, або ідеальному. Математичне число - це число, яке виходить з попереднього додатком одиниці (грецькі математики визнавали тільки натуральні числа). А для цього потрібно поряд з першою і єдиною одиницею визнати операцію додавання одиниці, т. Е. Фактично невизначену двоіцу, що дає нескінченне безліч одиниць. Ейдетично ж число - суще саме по собі і, хоча і знаходиться в деякому числовому ряду, проте воно не пов'язане з сусідніми числами через додаток або відібрання одиниці. У цьому сенсі ідеальне число - це принцип математичного числа - це сама по собі «двійка», сама по собі «трійка» і т. Д. І їх можна розглядати як початку всіх можливих двійок, трійок і т. Д. Причому одиницями ідеальних чисел немає потреби бути взаємно порівнянними, - вони виявляються розрізнення як почала різних ідеальних чисел.

Число і величина

Наявність подвійності - пари почав: буття і становлення, - виражається також в розрізненні античністю понять числа і величини. Число (математичне) - це така безліч, в якому можна розрізнити нерозкладних далі дискретні складові, т. Е. Неподільні одиниці. Величина ж - це безліч, безмежно ділене в кожній своїй частині, т. Е. Безперервне. Число тому в більшій мірі являє єдність, межа, логос і сенс, величина ж - безліч, безмежне, стихію становлення (що відповідає поділу на численне і незчисленної множини). Це - одна з причин відділення Платоном сфери дискретних в своїй основі, нерозкладних чисел та ідей від сфери величин - геометричних фігур, які хоча і несуть умосяжні ознаки, але також те саме що тілесним, фізичним величинам у своїй наочної представимости і безмежної подільності.

Між дискретним і безперервним немає переходу: дискретне - ознака ідеального буттєвого світу, безперервне - ознака світу тілесності, тому їх і розглядають в античності різні науки: арифметика - числа, геометрія і фізика - величини. Число і величина взаімнодополнітельни, але також і взаємовиключні. І якщо число ідеально, то величина просторово виражена. Можна говорити про символічному поданні чисел у величинах (наприклад, одиниці - в точці, двійки - в лінії і т. Д.), Але тільки як зображенні перших в останніх, а аж ніяк не їх ототожненні: число і величина, буття і небуття ніколи зійдуться, між ними антична думка на відміну від європейської назавжди вважає вододіл.

Не тільки тотожне, але і інакшість по-різному проявляється в числі і величиною, що виражається в їх різному ставленні до нескінченності. Перш за все, як доводить Арістотель, не може бути актуально нескінченного тіла - актуальна нескінченність взагалі непізнавана. Але величина не може бути також і потенційно безкінечною: хоча і причетна інакшості і становленню, вона все ж є щось цілісне, охватное і єдине.

У певному сенсі тіло, величина є «верхньою межею» самого себе, вона - свого роду власна безперервна цільна «одиниця», яка може бути тільки зменшена, т. Е. Ділена, але не увелічіваема (інакше це буде вже зовсім інша величина). Число ж не може бути скільки завгодно ділимо, бо його основа і найменший елемент, одиниця, не має частин і неподільна. Тому одиниця - дискретне ціле, «нижня межа» числа, так що, за словами Стагиріта, «для числа є межа в напрямку до найменшого, а в напрямку до більшого воно завжди перевершує будь-яка множина, для величини ж навпаки: в напрямку до більшого нескінченної величини не буває ». Таким чином, (математичне) число може бути нескінченно увелічіваемо, але не уменьшаемо, тоді як величина, навпаки, може бути безмежно ділена, але не увелічіваема. А границя, що обмежує нескінченне, в одному випадку щодо додавання піднімаються, в іншому - щодо зменшення-ділення, служить ціле, в одному випадку - дискретна одиниця, в іншому - сама безперервна величина. Тим самим задається також і поділ двох типів нескінченності: шляхом додавання і шляхом відібрання, т. Е. Превосхожденіе дискретного і розподілом безперервного, що Платон називає нескінченним у великому і в малому, пов'язаних з операціями подвоєння і половинного ділення, відповідним знову-таки не зводиться один до одного поняттями тотожного і інакшості, єдиного і багато чого, дискретного і безперервного.

1) Антологія світової філософії. В 4 тт. Ч. 1. М. 1969.

2) Богомолов А. С. Антична філософія. М. 1985.