Будувати заперечення елементарних висловлювань
Типові завдання з рішеннями
Приклад 1. Серед наведених нижче пропозицій виділити висловлювання. Визначити їх значення істинності.
а) Поспішайте робити добро!
б) Закон всесвітнього тяжіння відкрив И.Ньютон.
в) У сонячну погоду корисні сонячні окуляри.
г) Коли ви будете в Парижі?
д) Число 9 є простим.
е) Сьогодні був смачний обід.
ж) Деякі люди мають блакитні очі.
з) Всі тварини хижаки.
Рішення. З усіх пропозицій висловлюваннями є тільки б), в), д), ж) і з). Висловлювання б), в) і ж) є істинними, а висловлювання д) і з) - хибним.
Висловлювання ж) і з) є висловлюваннями з кванторами. Восклицательное пропозицію а) і питальне речення г) не є висловлюваннями. Пропозиція е) не є висловлюванням через суб'єктивність поняття «смачний обід».
Приклад 2. Виділити висказивательной форми (предикати) серед наступних пропозицій:
а) 13<19; б) 25<х; в) 2х+5;
г) 5 + # 9633;<9; д) 3+8=12 е) □+□=15;
ж) х -3х + 2<0; з) х׀׀у.
Рішення. Пропозиція а) є істинним висловлюванням, д) - хибним. І одне з них не є предикатом, оскільки не містить змінну. Вираз в) містить змінну х, але не є предикатом, оскільки не звертається в висловлювання. Пропозиції б), г), е), ж) і з) є висказивательной формами, причому б), г), ж) -одноместние, а е) і з) - двомісні предикати.
Приклад 3. На множині Х = заданий предикат: А (х) - «Число х є коренем рівняння х -3х = 0». Знайти безліч істинності предиката.
Рішення. Вираженіех -3х приймає значення рівне нулю, якщо х = 0 або х = 3. 0ÏХ, 3ÎХ, значить безліч - безліч істинності предиката А (х), заданого на безлічі Х.
Приклад 4. Побудувати заперечення висловлювань: «число 132 ділиться на 9» і «5> 4».
Рішення. Запереченням висловлювання «число 132 ділиться на 9» є вислів «число 132 не ділиться на 9». Запереченням висловлювання «5> 4» є вислів «5 Не больще 4», або «5 £ 4».
Приклад 5. Побудувати заперечення висловлювань, що містять квантор:
а) всі натуральні числа діляться на 3;
б) деякі непарні числа діляться на 4.
а) Перший варіант: невірно, що все натуральні числа діляться на 3.
Другий варіант: існують натуральні числа, які не діляться на 3.
б) Перший варіант: невірно, що деякі непарні числа діляться на 4.
Другий варіант: Кожне непарне число не ділиться на 4.
Завдання для самостійної роботи (базовий рівень)
1. Які з наступних пропозицій є висловлюваннями? Які з висловлювань істинні, а які помилкові?
а) 2 + 3 = 5, б) 3> 5, в) х-2 = 3,
г) -5-1 = -4, д) Чи підете ви в театр? е) Будьте щасливі!
ж) Деякі люди мріють мати автомобіль. з) При замерзанні вода розширюється. і) Будь-які три відрізки можуть бути сторонами трикутника.
к) При розподілі нуля на будь-яке число виходить нуль.
2. З'ясуйте, які пропозиції є висловлюваннями, а які предикатами, якщо:
а) 3 × 5 + 5> 27; б) 9 × 3 + 8 = 35; в) х-5 = 4; г) 3>; д) 3х + 5<8;
е) для будь-якого натурального n вірно рівність 3n + 5> 0;
ж) хоча б одне з чисел 1,2,3 є рішенням рівняння х -4 = 0.
3. На множині Х = задані предикати: В (х) - «х> 2»; С (х) - «х - просте число»; Д (х) - «х - непарне число». Знайти безліч істинності предикатів
4.Какие з наступних висловлювань містять квантор спільності, а які - квантор існування?
а) Всі чагарники є рослинами?
б) Існують числа, кратні 17?
в) Кожне натуральне число є цілим.
г) На всякого мудреця досить простоти.
д) Чи знайдеться такий день тижня, який буде вихідним.
е) Деякі пасажири вважають за краще їхати без квитка.
5. Сформулюйте заперечення наступних висловлювань і вкажіть, що істинно - саме висловлювання або його заперечення:
а) Сума цифр числа 312 дорівнює 6.
б) Число 27 кратне 8.
в) число 2 є коренем рівняння х + 1 = 4.
г) 9 - однозначне число.
6. Утворіть заперечення наступних висловлювань двома способами і визначте, що істинно, саме висловлювання або його заперечення:
а) У будь-якому трикутнику сума внутрішніх кутів дорівнює 180.
б) Існують їстівні гриби.
в) У деяких прямокутниках діагоналі не рівні.
г) Принаймні, одне з чисел 10, 11, 12 ділиться на 2.
д) Всі комахи - шкідники.
е) Існують равносторонние трикутники.
ж) Всякі два кута не рівні.
з) Деякі паралельні прямі не перетинаються.
і) Чи знайдеться трикутник з двома прямими кутами.
к) У всякому трикутнику сума двох будь-яких сторін більше третьою.
7. Побудуйте заперечення наступних висловлювань, що зустрічаються в початковій школі:
а) Для будь-яких чисел а і b вірно рівність: а + b = b + а.
б) Для будь-яких чисел а, b і з вірно рівність: а + (b + с) = (а + b) + с.
в) При множенні будь-якого числа на одиницю виходить це ж число.
Завдання для самостійної роботи (підвищений рівень)
1. На множин натуральних чисел N заданий предикат Р (х) - «Число х кратно 4». Сформулюйте висловлювання Р (132), Р (216), Р (262), Р328), Р (546) і встановіть їх істинність.
2. Які з наступних пропозицій є істинними (помилковими) висловлюваннями, а які висловлюваннями не є. Виділіть логічну структуру висловлювань.
а) Будь-яке натуральне число n при діленні на 3 дає залишок 0,1 або 2.
б) Існує число х, що не є квадратом раціонального числа.
в) «Пролетарі всіх країн, єднайтеся!»
г) «Всякий кулик своє болото хвалить».
д) Деякі співробітники фірми отримають відпустку взимку.
е) Чи не кожне однозначне число є простим або складеним.
ж) Не всякий трикутник має два гострих кута.
з) Існують геометричні фігури, що не мають площі.
і) З лісу кожен повертається з кошиком грибів або ягід.
А: «Сьогодні температура повітря в Москві нижче» і «Сьогодні температура повітря в Москві вище 5».
а) Чи можуть ці висловлювання бути одночасно істинними?
б) Чи є вони запереченнями один одного?
4. Знайдіть значення істинності висловлювань А і В і поясніть, чому вони не є запереченнями один одного:
а) А- «Слово« сад »-прілагательное», В- «Слово« сад «-наречіе»;
б) А - «Все трикутники є рівнобокими», В - «Все трикутники не є рівнобокими»;
в) А - «Деякі слова можуть бути розділені на склади», В - «Деякі слова не можуть бути розділені на склади»
5. З'ясуйте, які з висловлювань кожної пари є запереченнями один одного:
а) У книзі більше 100 сторінок. У книзі не більше 100 сторінок.
б) Ця гвоздика червона. Ця гвоздика рожева.
в) Ця гвоздика червона. Ця гвоздика не червона.
г) Дане слово - іменник. Дане слово - прикметник.
6. Дано висловлювання:
А: "У Чорному морі вода солона»,
В: «Мурзилка - дитячий журнал»,
З: «К.И.Чуковский - зарубіжний письменник»,
. «Калина - тропічна рослина».
а) Утворіть заперечення даних висловлювань.
б) Сформулюйте заперечення висловлювань і.
в) Порівняйте значення істинності висловлювань А і. В і. З і. D і
Який висновок можна зробити?
7. Сформулюйте дані висловлювання інакше, використовуючи закон подвійного заперечення:
а) Невірно, що сьогодні не навчальний день.
б) Невірно, що 6 - непарне число.
в) Невірно, що Харків не знаходиться на березі Неви.
г) Невірно, що заєць не звір.
8. Доведіть, що наступні пари висловлювань не є запереченнями один одного:
а) Всі дерева є хвойними.
Всі дерева не є хвойними.
б) Існують числа, кратні 7.
Існують числа, які не кратні 7.
в) Всі птахи мають чорне забарвлення.
Всі птахи не мають чорного забарвлення.
9. Дано висловлювання А: «Усі учні групи склали іспит з математики». Вкажіть серед висловлювань заперечення висловлювання А:
а) Деякі учні групи не склали іспит з математики з математики.
б) Всі учні групи не склали іспит з математики.
в) Чи не всеучащіеся групи склали іспит з математики.
г) Жоден учень групи не здав іспит з математики.
10. Серед наступних пропозицій вкажіть ті, які є запереченнями висловлювання В - «Деякі учні класу - відмінники».
а) Жоден з учнів класу не є відмінником.
б) Деякі учні класу не є відмінниками.
в) Не всі учні класу - відмінники.
г) Всі учні класу не є відмінниками.
11. Спростуйте наступні твердження, показавши, що їх заперечення істинні:
а) Всі тварини - ссавці.
б) Будь-яке дійсне число є натуральним.
в) Кожні дві прямі паралельні.