Бісектриса рівностороннього трикутника, трикутники

Якими властивостями володіє бісектриса рівностороннього трикутника? Як, знаючи бік правильного трикутника, знайти його бісектрису? Чому дорівнює довжина бісектриси через радіус вписаного і описаного кіл?

(Властивість бісектриси рівностороннього трикутника)

У рівносторонньому трикутнику бісектриса. проведена до будь-якій стороні, є також його медіаною і висотою.

Нехай в трикутнику ABC AB = BC = AC.

Так як AB = BC, трикутник ABC - рівнобедрений з основою AC.

Проведемо бісектрису BF.

По властивості рівнобедреного трикутника, BF є також його медіаною і висотою.

Аналогічно, трикутник ABC - рівнобедрений з основою BC, трикутник ABC - рівнобедрений з основою AB, а його бісектриси AK і CD - ще і медіани і висоти.

Що й потрібно було довести .

(Властивість биссектрис рівностороннього трикутника)

Всі три бісектриси рівностороннього трикутника рівні між собою.

Нехай в трикутнику ABC AB = BC = AC.

AK, BF CD - бісектриси трикутника ABC.

У трикутниках ABF, BCD і CAK:

• AB = BC = CA (за умовою)
• ∠BAF = ∠CBD = ∠ACK (як кути рівностороннього трикутника)
• ∠ABF = ∠BCD = ∠CAK (як як AK, BF CD - бісектриси рівних кутів).

З рівності трикутників випливає рівність відповідних сторін: AK = BF = CD.

Що й потрібно було довести .

З теорем 1 і 2 випливає, що в рівносторонньому трикутнику всі бісектриси, медіани і висоти рівні між собою.

1) Знайдемо бісектрису рівностороннього трикутника через його сторону.

У трикутнику ABC AB = BC = AC = a.

BF - бісектриса, BF = l.

За властивостями рівностороннього трикутника, BF - висота Δ ABC, ∠A = 60º.

З прямокутного трикутника ABF за визначенням синуса

Таким чином, формула бісектриси рівностороннього трикутника по його стороні:

2) Знайдемо бісектрису рівностороннього трикутника через радіуси вписаного та описаного кіл.

У правильному трикутнику ABC центри вписаного і описаного кіл збігаються.

Центр вписаного кола - точка перетину биссектрис трикутника. Бісектриси рівностороннього трикутника також є його медианами. Медіани трикутника в точці перетину діляться у відношенні 2 до 1, рахуючи від вершини.

Отже, точка O - центр вписаного і описаного кіл, OF - радіус вписаного кола, OF = r, BO - радіус описаного кола, BO = R і BO: OF = 2: 1.

Таким чином, довжина бісектриси через радіус вписаного кола дорівнює

через радіус описаного кола -