Безлічі, числові безлічі, різниця множин

В математиці поняття безліч використовується для опису сукупності предметів або об'єктів. При цьому передбачається, що предмети (об'єкти) даної сукупності можна відрізнити один від одного і від предметів, що не входять в цю сукупність. Наприклад, можна говорити про безліч всіх книг в даній бібліотеці, безлічі всіх вершин даного многоуглоніка, безлічі всіх точок даної прямої. Книги в даній бібліотеці, вершини даного многоуглоніка, точки даної прямої є елементами відповідних множин.

числові множини

В алгебрі найчастіше доводиться мати справу з множинами, елементами яких є числа. Такі безлічі називаються числовими. Для деяких часто зустрічаються числових множин в шкільному курсі математики прийняті стандартні позначення: N - безліч натуральних чисел, Z - безліч цілих чисел, Q - безліч раціональних чисел, R - множина дійсних чисел. Дійсні числа позначаються точками координатної прямої. Координатна пряма - це будь-яка пряма, на якій обрані напрямки, прийняте за позитивне, точка - початок відліки і одиниця виміру - масштабний відрізок, довжина якого приймається рівною одиниці.

підмножина

Якщо будь-який елемент множини А належить також безлічі В, то безліч А називають підмножиною множини В. Це записується так: А ⊂ В або В ⊃ А. В цьому випадку говорять, що безліч А міститься в безлічі В або безліч В містить безліч А. Якщо в безлічі А знайдеться хоча б один елемент, що не належить безлічі в, то А не є підмножиною множини в: А ⊄ В. З визначення підмножини слід, що будь-яка множина є підмножиною самого себе, тобто справедливим є твердження А ⊂ А. Вважають також, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини.
Перетин множин. Безліч, що складається з усіх елементів, що належать і множині А, і безлічі В, називається перетинанням безлічі А і В і позначається А ∩ В. Для відрізка [-1; 1] і інтервалу] 0; 3 [перетином, тобто безліччю, що складається із загальних елементів, є проміжок] 0; 1]. Якщо множетсва А і В не мають спільних елементів, то кажуть, що ці множини не перетинаються або що їх перетин - порожня множина, і пишуть А ∩ В = ∅. Перетин будь-якого безлічі А з порожнім множетсва є, очевидно, порожня множина А ∩ ∅ = ∅.

об'єднання множин

Безліч, що складається з усіх елементів, що належать або безлічі А чи безлічі В, називається об'єднанням множин А і В позначається AUB. Об'єднання і перетин множин мають деякі властивості суми і твори чисел:
1. AUB = BUA,
2. A ∩ B = B ∩ A,
3. (AUB) UC = AU (BUC),
4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
5. (AUB) ∩ C = (A ∩ C) U (B ∩ C)
Для кінцевого безлічі А через m (A) позначимо число його елементів. Число елементів порожнього безлічі, очевидно, дорівнює нулю. Для будь-яких кінцевих множин А і В справедливо рівність:
m (AUB) = m (A) + m (B) -m (A ∩ B)
Дійсно, нехай безлічі А і В не перетинаються, тобто m (A ∩ B) = 0. Їх об'єднання виходить додаванням елементів однієї множини всіх елементів іншого безлічі, тому:
m (AUB) = m (A) + m (B)
Якщо ж перетин множетв А і В не порожньо, то число їхніх спільних елементів одно m (A ∩ B). Об'єднання цих множин утворюється додаванням до елементів множини А все тих елементів множетсва В, які не входять до А. Число таких елементів одно m (B) -m (A ∩ B). Таким чином,
m (AUB) = m (A) + m (B) -m (A ∩ B)

доповнення

Часто обмежуються розглядом всіляких підмножин одного і того ж безлічі, яке в цьому випадку називають основним або універсальним безліччю. Позначимо основне безліч буквою Е. Для будь-якого безлічі А, що належить основним множетву Е, справедливі рівності:
1. AUЕ = Е
2. A ∩ Е = А.
Безліч елементів основного множетсва Е, котрі належать до безлічі А, називається доповненням множини А до множини Е або просто доповненням і позначається А. Об'єднання безлічі а й його доповнення А є основне безліч: AUА = E. Перетин безлічі зі своїм доповненням порожньо: A ∩ А = ∅. Доповнення порожнього множетсва є основане безліч, а доповнення основного безлічі порожньо. Для будь-яких підмножин А і В основного безлічі Е справедливі рівності:
1. AUB = A ∩ B
2. A ∩ B = AUB

різниця множин

Різницею двох множин А і В називають таку силу-силенну, в яке входять всі елементи з безлічі А, які не належать безлічі В. Різниця множин А і В позначають А \ В. У разі, коли В є підмножина безлічі А, різниця А \ В називають доповненням множини В в безлічі А і позначають СА В