Асиметрія і ексцес розподілу - студопедія

Попередньо зазначимо, що асиметрія і ексцес - це числові характеристики, які виражають кількісну міру ступеня близькості даного розподілу до нормального.

Коефіцієнти асиметрії та ексцесу теоретичного розподілу

Під теоретичним розподілом розуміється розподіл ймовірностей досліджуваного ознаки Х генеральної сукупності, який трактується як випадкова величина Х. Для випадкової величини Х введемо безрозмірні числові характеристики:

які називаються відповідно коефіцієнтами асиметрії і ексцесу теоретичного розподілу. Вони оцінюють ступінь близькості даного розподілу до нормального, а також характеризують форму закону розподілу ймовірностей досліджуваної випадкової величини Х.

Перш за все зазначимо, що для нормального розподілу коефіцієнти асиметрії і ексцесу дорівнюють нулю:. .

Мал. 12. Криві розподілу:

Якщо для даного розподілу. то довга частина кривої розподілу (графіка щільності) розташована праворуч від вершини (рис.12, а); якщо ж . то довга частина кривої розподілу розташована зліва від вершини (рис.12, б).

Якщо для даного розподілу. то крива розподілу має більш високу і гостру вершину, ніж нормальна крива Гауса (рис.13, а); якщо ж . то крива розподілу має нижчу та пологу вершину, ніж нормальна крива (рис. 13, б). При цьому порівняно передбачається, що дане і нормальне розподілу мають однакові математичні очікування і дисперсії.

Порівняно невеликі по модулю значення коефіцієнтів і свідчать про близькість даного розподілу до нормального. Великі ж значення і вказують на значне відхилення даного розподілу від нормального.

Мал. 13. Крива розподілу:

Вибіркові коефіцієнти асиметрії і ексцесу

Наведені нижче коефіцієнти є точковими статистичними оцінками коефіцієнтів асиметрії та ексцесу теоретичного розподілу, обчисленими за вибіркою, представленої у вигляді інтервального статистичного ряду.

Вибіркові коефіцієнти асиметрії і ексцесу можна використовувати для спрощеної перевірки гіпотези про нормальність розподілу. При цьому необхідно керуватися наступними правилами:

1. Якщо обидва вибіркових коефіцієнта асиметрії та ексцесу по модулю менше відповідних табличних критичних значень

то розподіл досліджуваної генеральної сукупності досить близько до нормального.

2. Якщо хоча б один з модулів коефіцієнтів або виявиться більше відповідного табличного критичного значення

то розподіл досліджуваної генеральної сукупності істотно відрізняється від нормального.

Таблиця критичних значень коефіцієнтів асиметрії та ексцесу приведена в навчальному посібнику В.І. Лупандіна "Математичні методи в психології".

З метою істотного спрощення обчислень коефіцієнтів. застосуємо метод умовних варіант. В інтервальному статистичному ряді перейдемо до умовних варіантів (). В умовних варіантах формули для і запишуться в такий спосіб:

Для зручності обчислення організовуються у формі розрахункової таблиці (див. Приклад).

Приклад. Дан інтервальний статистичний ряд