Асиметрія, ексцес
Обчислення асиметрії і ексцесу дозволяє встановити симетричність розподілу випадкової величини щодо Для цього знаходять третій центральний момент, який характеризує асиметрію закону розподілу випадкової величини. Якщо він дорівнює нулю, то випадкова величина симетрично розподілена відносно математичного очікування Оскільки має розмірність випадкової величини в кубі, то вводять безрозмірну величину - коефіцієнт асиметрії:
Центральний момент четвертого порядку використовується для визначення ексцесу, характеризує плосковершінність або гостровершінність щільності ймовірності Ексцес обчислюється за формулою
Число 3 віднімається для порівняння відхилення від центрального закону розподілу (нормального закону), для якого підтверджується рівність:
Отже, для нормального закону розподілу. Якщо ексцес позитивний то на графіку функція розподілу гостро вершину і для негативних значень більш пологу. Таким чином можна встановити відхилення заданого закону від нормального. Для наочності при різних значеннях асиметрії і ексцесу графіки щільності ймовірностей зображені на малюнках нижче
Наведу Вам один з поширених прикладів.
Приклад 1. Дана щільність ймовірностей:
Обчислити асиметрію і ексцес.
Рішення. Обчислюємо математичне очікування випадкової величини
після цього - третій момент інерції
Оскільки момент нульовий то і асиметрія дорівнює нулю .Отже, можливі значення випадкової величини симетрично розподілені щодо одиниці. Для обчислення ексцесу необхідно знайти четвертий момент і середньоквадратичне відхилення. .
За знайденим значенням обчислюємо дисперсію
після неї середнє матіматічне відхилення
негативний ексцес, що вказує на положистість функції розподілу. Сам графік функції зі знайденими величинами наведено на малюнку нижче
Добре розберіть наведений приклад, всі інші подібні. Знайти асиметрію і ексцес досить легко тим, хто добре вміє інтегрувати і не поспішає при обчисленнях.