Алгоритм знаходження екстремумів функції і інтервалів її монотонності за допомогою першої похідної

6) Таким чином, дана функція в проміжку від -∞ 2 - 4) і знайти її проміжки монотонності.

1) Функція визначена для всіх R, крім x = -2, x = 2

2) Знайдемо похідну: f '(x) = - (x 2 +4) / (x 2 - 4) 2.

3) Зауважимо, що похідна не звертається до нуль і негативна на всій області визначення даної функції. Значить, точок екстремуму немає, і функція є спадною на всій області визначення.

4) Таким чином, дана функція спадає на проміжках:

-∞ 2 - 9) і знайти її проміжки монотонності.

1) Функція визначена якщо x 2 - 9 ≥0. тобто на інтервалах (-∞; -3) і (3; + ∞).

2) На кожному з цих інтервалів функція має похідну f '(x) = 2x / (x 2 - 9).

3) Зауважимо, що похідна не звертається до нуль на інтервалах (-∞; -3) і (3; + ∞), значить, точок екстремуму немає.

4) Так як для будь-яких x> 3 і для x 2 і знайти її проміжки монотонності.

1) Функція визначена, якщо 25-x 2 ≥0. тобто на проміжку [-5; 5].

2) Знайдемо похідну функції f '(x) = -x / √25-x 2.

3) f '(x) = 0 при х = 0, значить 0 - критична точка.

4) Так як при переході через точку x = 0 похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій точці функція має максимум.

5) Таким чином, дана функція в проміжку від -5 ≤ x ≤0 зростає, в проміжку від 0≤ x≤ 5 убуває.

Відповідь: (0; 5) - точка максимуму; функція зростає [-5; 0] і функція спадає [0; 5].