Algebra2 dets jacobian vf

Матрицею Якобі системи з функцій по змінним називається матриця, складена з різноманітних приватних похідних:

В окремому випадку матриця Якобі складається з одного рядка: цей вектор в або називається градієнтом функції (в точці):

Приклад. Для лінійних функцій

матриця Якобі буде матрицею коефіцієнтів при змінних:

Звідки виникає матриця Якобі? - Фактично звідти ж, звідки виникає звичайна похідна: з необхідності вивчати поведінку довільної нелінійної функції. Що роблять при дослідженні функції однієї змінної. - Для неї виписують формулу Тейлора і в цій формулі

залишають тільки два перших доданків, щоб нелінійну функцію підмінити лінійної. Геометрично: графік довільної функції замінюють на графік його дотичній, і вважають, що ці два графіка поводяться майже однаково - по крайней мере, локально - в околиці точки. Те ж саме робиться і при дослідженні функцій декількох змінних. Нехай, наприклад, задано відображення

деякої області простору в простір. Це відображення можна геометрично інтерпретувати, як завдання деякої поверхні в параметрически (завдання параметрів і однозначно визначає точку поверхні). Якщо функції нелінійні, то вивчати поведінку такого відображення починають з його лінійного наближення: виписують для цих функцій формули Тейлора

(Приватні похідні обчислюються в точці) і відкидають нелінійні по і складові. Отримуємо відображення простору в простір. який по вигляду можна було б назвати лінійним. але в алгебрі вираження лінійне відображення закріплено за більш вузьким класом відображень. а даний називається аффінним.

Геометрично: графік поверхні замінюють на графік її дотичній площині і вважають, що ці два графіка поводяться майже однаково - по крайней мере, локально, - в околиці точки.

В окремому випадку матриця Якобі стає квадратної і тоді її визначник називається якобіаном або визначником Якобі або функціональним визначником системи з функцій по змінним.

У цьому ж випадку слід матриці Якобі називається дивергенцией вектора.

Наступна теорема і її наслідки є прямими узагальненнями відповідних результатів з лінійної алгебри.

Теорема.Якобіан тотожно дорівнює нулю в деякій області.

тоді і тільки тоді, коли між функціяміімеется функціональна залежність в. тобто існує функціятакая, що