Аксонометрична і вторинна проекції точки цілком визначають її положення в просторі

Аксонометріческіе проекції оборотні, якщо відома аксонометрія трьох головних напрямків вимірювань фігури і коефіцієнти спотворення по цих напрямках.

Аксонометріческіе проекції фігури є її проекціями на площині довільного положення при довільно обраному напрямку проектування.

Очевидно можливо і зворотне. На площині можна вибрати довільне положення осей з довільними аксонометричними масштабами.

У просторі завжди можливо таке положення натуральної системи прямокутних координат і такий розмір натурального масштабу по осях, паралельної проекцією яких є дана аксонометрична система.

Німецький вчений Карл Польці (1810-1876) сформулював основну теорему аксонометрии: три відрізки прямих довільної довжини, що лежать в одній площині і виходять з однієї точки під довільними кутами один до одного, представляють паралельну проекцію трьох рівних відрізків, відкладених на координатних осях від початку.

Відповідно до цієї теореми, будь-які три прямі в площині, що виходять з однієї точки і не збігаються між собою, можна прийняти за аксонометричні осі. Будь-які відрізки довільної довжини на цих прямих, відкладені від точки їх перетину, можна прийняти за аксонометричні масштаби. Ця система аксонометрических осей і масштабів є паралельною проекцією деякої прямокутної системи координатних осей і натуральних масштабів.

У практиці побудови аксонометричних зображень зазвичай застосовують лише деякі певні комбінації напрямів аксонометрических осей і аксонометрических масштабів: прямокутна ізометрія і діаметром, Косокутна фронтальна діаметром, кабінетна проекція і ін.

Стандартні аксонометричні проекції

Згідно ГОСТ 2.317-69, з прямокутних аксонометричних проекцій рекомендується застосовувати прямокутні ізометрію і діаметром.

Між коефіцієнтами спотворення і кутом # 966 ;, освіченим напрямком проектування і картинної площиною, існує наступна залежність: u 2 + # 965; 2 + # 969; 2 = 2 + ctq 2 # 966 ;, якщо # 966; = 90 o. то u 2 + # 965; 2 + # 969; 2 = 2, В ізометрії u = # 965; = # 969; і, отже, 3u 2 = 2, откудаu =Ö2/3 ≈ 0,82. Таким чином, в прямокутної ізометрії розміри предмета по всіх трьох вимірах скорочуються на 18%. ГОСТ рекомендує изометрическую проекцію будувати без скорочення по осях координат (рис.9.2), що відповідає збільшенню зображення проти оригіналу в 1,22 рази.

Малюнок 9.2. Розташування осей в ізометрії

При побудові прямокутної діметріческой проекції скорочення довжин по осі y '(рис.9.3) приймають удвічі більше, ніж у двох інших, тобто вважають, що u = # 969 ;, а # 965; = 0,5u. Тоді 2u 2 + (0,5u) 2 = 2, звідки u 2 = 8/9 і u≈0,94, а # 965; = 0,47. У практичних побудовах від таких дрібних коефіцієнтів зазвичай відмовляються, вводячи масштаб збільшення, визначається співвідношенням 1 / 0,94 = 1,06, і тоді коефіцієнти спотворення по осях x 'і z' дорівнюють одиниці, а по осі y 'вдвічі менше # 965; = 0,5. З косокутних аксонометричних проекцій ГОСТом передбачено застосування фронтальної і горизонтальної ізометрії і фронтальної диметрії (останню ще називають кабінетної проекцією).

Малюнок 9.3. Розташування осей в диметрії

Окружність в аксонометрии

При паралельному проектуванні окружності на якусь площину П * отримуємо її зображення в загальному випадку у вигляді еліпса (рис. 9.4). Як би не була розташована площина окружності, спочатку доцільно побудувати паралелограм A * B * C * D * - паралельну проекцію квадрата ABCD. описаного близько даної окружності, а потім за допомогою восьми точок і восьми дотичних вписати в нього еліпс. Точки 1. 3. 5 і 7 - середини сторін паралелограма. Точки 2. 4. 6 і 8 розташовані на діагоналях так, що кожна з них ділить полудіагональ в співвідношенні 3: 7. Дійсно, на підставі властивостей паралельного проектування можна записати, що А2 / 1О = A * 2 * / 2 * O *, Але А1 / 1О = (r√2-r) / r≈ 3/7. З восьми дотичних до еліпса перші чотири - це сторони паралелограма, а решта t2. t4. t6 іt8 - прямі, паралельні його діагоналях. Так касательнаяt2 * до еліпсу паралельна діагоналі C * D *. Пояснюється це тим, що t2 * і C * D * є проекціями двох паралельних прямих t2 і CD.

Малюнок 9.4. Проектування окружності на площину

Графічні побудови, попередні викреслювання самого еліпса, доцільно виконувати в такій послідовності (рис.9.5):

1. Побудувати аксонометрическую проекцію квадрата - паралелограм A * B * C * D * і провести діагоналі A * C * і B * D *; 2. Відзначити середини сторін паралелограма - точки 1 *. 3 *. 5 * і 7 *; 3. На відрізку 3 * B *. як на гіпотенузі, побудувати прямокутний трикутник 3 * KB *; 4. З точки 3 * радіусом 3 * K описати півколо, яка перетне A * B * в точках L і M; ці точки ділять відрізок 3 * A * і рівний йому відрізок 3 * B * у відношенні 3: 7; 5. Через точки L і М провести прямі паралельні бічним сторонам паралелограма, і відзначити точки 2 *, 4 *, 6 * і 8 * розташовані на діагоналях; 6. Побудувати дотичні до еліпса в знайдених точках. Касательнихt2 і t6 паралельні BD, а дотичних t4 і t8 паралельні AC. 7. Отримавши вісім точок і стільки ж дотичних, можна з достатньою точністю викреслити еліпс.

Малюнок 9.5. побудова еліпса

ГОСТ 2.317-69 визначає положення кіл, що лежать в площинах, паралельних площинах проекцій для прямокутної ізометричної проекції (ріс.9.6) і для прямокутної диметрії (ріс.9.7).

Малюнок 9.6. Ізометричні проекції кіл, розташованих в площинах паралельних площинах проекцій

Малюнок 9.7. Діметріческая проекції кіл, розташованих в площинах паралельних площинах проекцій

Якщо изометрическую проекцію виконують без спотворення по осях x, y, z. то велика вісь еліпсів 1,2, 3 дорівнює 1,22, а мала вісь -0.71 діаметра окружності.

Якщо изометрическую проекцію виконують із спотворенням по осях x, y, z. то велика вісь вісь еліпсів 1, 2, 3 дорівнює діаметру кола, а мала - 0.58 діаметра окружності.

Якщо дімметріческую проекцію виконують без спотворення по осях x і z то велика вісь еліпсів 1, 2, 3 дорівнює 1,06 діаметра кола, а мала вісь еліпса 1 - 0.95, еліпсів 2 і 3 - 0.35 діаметра окружності.

Якщо діметріческая проекцію виконують з спотворення по осях x і z, то велика вісь еліпсів 1, 2, 3 дорівнює діаметру кола, а мала вісь еліпса 1 - 0.9, еліпсів 2 і 3 - 0,33 діаметра кола.

1-еліпс (велика вісь розташована під кутом 90 0 до осі y); 2-еліпс (велика вісь розташована під кутом 90 0 до осі z); 3-еліпс (велика вісь розташована під кутом 90 0 до осі x).

Побудова аксонометричних зображень

Перехід від ортогональних проекцій предмета до аксонометричну зображенню рекомендується здійснювати в такій послідовності (рис. 9.8): 1. На ортогональному кресленні розмічають осі прямокутної системи координат, до якої і відносять даний предмет. Осі орієнтують так, щоб вони допускали зручне вимір координат точок предмета. Наприклад, при побудові аксонометрии тіла обертання одну з координатних осей доцільно поєднати з віссю тіла. 2. Будують аксонометричні осі з таким розрахунком, щоб забезпечити найкращу наочність зображення і видимість тих чи інших точок предмета. 3. За однією з ортогональних проекцій предмета креслять вторинну проекцію. 4. Створюють аксонометричне зображення, для наочності роблять виріз чверті.

Малюнок 9.8. Побудова аксонометричного зображення