Адаптології математичне і евристичне мислення

Математичне і евристичне мислення - як альтернативи. Усталені уявлення про універсальність і фундаментальності математичного методу не тільки формалізації, а й розуміння суті нових явищ береться під сумнів, і показуються причини, чому це не вірно - на основі механізмів поведінкової адаптивності.

В першу чергу слід зазначити, що, незважаючи на безліч характеристик "типів мислення я" (логічне, образне, абстрактне і т.п.), реально мислення е завжди має одну природу, один загальний механізм (див. Що таке думка). Розрізняються лише напрацьовані методики творчості - стереотипи мислення я або розумові автоматизми. Справа в тому, що якщо щось виникає в свідомості як мислення е, то це - завжди говорить про якусь новизну ситуації, що вимагає творчого про сенс ення (див. Свідомість). Продуктом усвідомлення є неусвідомлене слідування поведінковим автоматизмам, в тому числі - розумовим автоматизмам, в тому числі - автоматизмам математичної логіки.

Математика заснована на розвитку певного стереотипу мислення я, важливою рисою якого є проходження строго певному значенню символів і певної логіки їх взаємодії. І значення символів, і визначення логіки знаходиться в компетенції математика в рамках поточної предметної області математики.

Ці визначення зазвичай бувають вже взаємно узгоджені математиками в даній області, але дозволяється вносити будь-які виправдані передбачуваною користю перевизначення старих і визначення нових понять, розширюючи область використання предметної області.

Таким чином, в математиці є два стилю мислення я, що розрізняються (не) використанням свідомості.

1. Суворе дотримання вже певного, що дає жорсткість одержуваних результатів і строгість математичних висновків, які і створюють ілюзію непогрішності математичного методу. Це - неусвідомлювані, звичні, добре освоєні автоматизми. Тому ніхто ніколи не здатний простежити "логіку мислення я", його причинний послідовність, і тільки вже після здійсненого розумового процесу може її "резонно" припустити. Однак, існування відслідковує режиму свідомості дозволяє зафіксувати як пам'ять про події те, що переживається в ході такого мислення я, і ця пам'ять зовсім не завжди стосується математичного предмета, а може перескакувати на що завгодно, в даний момент перевищує актуальність теми математичного побудови.

2. Усвідомлене творче мислення е (задіяні навички творчості, фантазії, прогнив зирования бажаного), яке суто відрізняється від того, що зазвичай регламентується характерним для математики - для перевизначень старих понять і визначення нових (в тому числі понять про логіку взаємодій).

Ж.Дьедонне писав. "Логіка - це необхідний і нудний інструмент (відомо, що математики її, взагалі кажучи, не дуже цінують); нею треба вміти належним чином володіти, так як вона дозволяє стежити за доказом і перевіряти його. Але не винаходити!"

Перший стереотип автоматичного мислення я вимагає напрацювання навичок суворого дотримання прийнятих угод в формализ ації, перетвореннях і висновках - в контекст е поточної математичної теми.

Другий стереотип усвідомлюваного мислення я - творча знаходження нових варіантів, то, що вимагає всієї сукупності особистого досвіду і називається евристичного мислення їм.

Обидва стереотипу є напрацьованими автоматизмами, але здатними коригуватися усвідомлено, в тому числі в область нових, поки ще не освоєних умов, що є проявом особистої адаптивного ості.

Цим поділом стереотипів мислення я дається межа їх адекватн ой застосовності, тобто та область застосування, в якій передбачуване відповідає одержуваному реально.

Це означає, що математика не може претендувати на загальну універсальність свого застосування, якщо обмежуватися тільки першим видом стереотипу, а другий вид - не властивий суто тільки математики. Як зазвичай буває в таких випадках, кордон між математикою і нематематика провести не вдається на увазі недовизначених того, що саме відноситься до математики і з огляду на те, що велика частина математики відноситься до стереотипу творчості, яка є властивою не тільки математики.

Як властивий тільки математичній логіці, перший стереотип дає можливість вирішувати певні завдання в рамках вже придуманих визначень (математичного апарату), в той же час велика кількість завдань, які потребують вирішення, не має відповідного математичного апарату, але при цьому можуть вирішуватися творчими, евристичними методами.

Так, властивий усвідомленого мислення ю метод моделювання ситуації, коли узагальнюється все те, що за спостереженнями надає причинне вплив в даному явищі, будується суб'єктивна модель явища, що претендує на передбачувану здатність настільки, наскільки вірно (без ілюзій) виявлена ​​реальна логіка процесів, і наскільки вірно вона відтворена в моделі.

Щоб надати достатню визначеність слову "математика" в контекст е даної статті, домовимося вважати математичним властиве тільки математики, тобто перший вид стереотипу мислення я.

Приклад рішення без використання математичного апарату: ще не існує математичний апарат для вирішення "завдання трьох тіл", але, заклавши в комп'ютер параметри тіл і закони взаємодії, легко виходить результат.

Без комп'ютера, моделюючи подумки, так само вдається отримувати вірні прогнози для багатьох випадків тому, що в голові будується суб'єктивна модель явища, яка здатна коректуватися особистим досвідом спостереження, як завгодно глибоко уточнюючи результат. Взагалі будь-творчого мислення е - і є розвиток таких моделей.

Це означає, що додаток математичної логіки має досить чіткі межі застосування, і альтернативою є модельне мислення е або евристика. Причому, евристичне мислення е в будь-якому випадку виявляється більш загальним тому, що безпосередньо використовує механізми суб'єктивного творчості, формуючи неусвідомлювані навички. Матлогіке ж - один із спеціалізованих видів модельного мислення я вже з використанням отриманих неусвідомлюваних навичок. Причому, вона більш відвернута від реальності в силу того, що використовується вторинна (вже несвідома), суб'єктивно визначається логіка.

Це допускає, як метод творчості, визначення довільної логіки або довільних початкових умов - постул ювання, відмінне від аксіом Атіка (див. Аксиом и і постул ати). Постул ат зовсім не обов'язково має безпосереднє відповідність з об'єктивною реальністю (на відміну від суб'єктивної), хоча в деяких випадках таке відповідність знаходиться постфактум.

Звідси безпосередньо випливає важливий висновок: будь-яка математична модель передує свідомим вольовим зусиллям адаптивного ості до кола явищ, перенесеного в суб'єктивність. Будь-яка математична формализ ація не може виявитися адекватн ой описуваного явища (дуже малий шанс випадковості) без попереднього розуміння картини, завдання, уявлень суб'єктивно до рівня, що дозволяє сформувати математичну модель, до рівня можливої ​​формализ ації. Це - пряме протиріччя впевненості, що виникає від Аристотеля в тому, що світ можливо пізнати чистої логікою.

У статті Брайн Девіс: «Куди йде математика?». "Протягом тисячоліть вважалося, що математика відкриває неспростовні вічні істини. Математика зіткнулася з проблемою практично непереборної складності доказів. Подібно інженерам, математики стануть говорити не про твердий знанні, а про ступінь впевненості в надійності своїх результатів.".

Далі буде показана реальна послідовність рівнів мислення я: спочатку розуміння суті, потім - формализ ація. Інакше виходить випадкова суміш деяких компонентів (одного з нескінченної кількості можливих варіантів), як картинка в калейдоскопі, а не пізнання чогось в реальності або побудова гіпотез и, яка претендує на опис реальності.

А. Пуанкаре писав. "У чому полягає математичне творчість? Воно полягає не в створенні нових комбінацій за допомогою вже відомих математичних об'єктів. Це може зробити хіба мало хто, але число комбінацій, які можна знайти цим шляхом, було б нескінченно. І навіть найбільше їх число не представляло б рівно ніякого інтересу. Творчість полягає як раз в тому, щоб не створювати непотрібних комбінацій, а будувати такі, які виявляються корисними, а їх незначна меншість. "

Цілком представимо розвиток системи чисто модельних, евристичних уявлень, без використання взаємно-домовлених термінів символів і правил, що забезпечують передачу таких уявлень іншій людині, тобто без формализ ації, тим більше формализ ації математичної. Варто мати на увазі, що переважна частина психи ки, суб'єктивних образів - поза вербальні символи, здатна бути передана відразу іншій людині без спотворень розуміння, що породжує безліч ілюзій розуміння. Це означає, що зрозуміти суть, зробити адекватн е реальності узагальнення не тільки можливо, не вдаючись до математики, а неможлива адекватн а математична формализ ація без попереднього суб'єктивного розуміння суті.
При цьому гра в математичні побудови, в результаті якої думка евристичний наштовхується на розуміння суті - не рідкісне явище. Але це - метод "наукового тику" або "алхімія", а простіше - "обертання калейдоскопа" потенціал ьно нескінченних варіантів, поки не виникне інтуїтивне осяяння.

В кінцевому рахунку, будь-яка дієздатна гіпотез а, претендує на передбачувану силу, спирається на систему аксіом. а не постул ати, що відрізняє її від фантазії. При цьому фантазія часто дає можливість розширити систему аксіом в новому, несподіваному напрямі, що, наприклад, було в яскравому разі розвитку геометрії Лобачевського: всього одна фантазія, що замінила звичайний порядок визначень, дала розвиток нового розуміння, яка знайшла відповідність в реальності. Але розширення знаходить реальну силу саме після знаходження свого відповідності з реальністю, а до цього залишається лише продуктом суб'єктивної фантазії - як завгодно привабливою, але абстракцією.

Можна впевнено стверджувати, що принципово не може існувати метод чисто алгоритм іческого, математичного забезпечення створення нового математичного апарату - в силу фундаментального принципу інформаційної адаптивного ості. в якому коригування здійснюється по результату відповідності очікуваного і отримуваного в реальності, а не в обмеженому інформаційному просторі суб'єкта.

У практичному плані зіставлень розглянемо тенденцію математизировать явища для досліджень, яку я вважаю методолог іческі невірною. Це - підхід, коли досліднику здається, що саме формализ ація математичного характеру дозволить йому в належному ступені осягнути суть причинно-наслідкових механізмів явища. Зокрема, дослідники функціональності мозку часто приймають ті чи інші математічсекіе припущення для опису роботи нейромережі. Більш простий приклад допоможе зрозуміти (не) резонність такого підходу. Візьмемо явище наповнення судини рідиною. Воно може бути описано математично дуже точно в залежності від специфіки умов наповнення. Ми отримаємо вірні формули розрахунку швидкості наповнення, тиску водяного стовпа рідини і відповідну цьому потенціал ьную енергі ю. Отримаємо математичну модель, яка оголошується властивою явищу наповнення водою.
Інший дослідник точно так же отримує мат.модель явища зарядки конденсатора джерелом постійного струму.
Виявляється, що обидві моделі, що наповнення судини постійним струмом води і наповнення ємності конденсатора зарядами постійного струму абсолютно ідентичні, хоча відносяться до абсолютно різних явищ. Звідси ясно, що моделі самі по собі не є тотожними описуваних явищ, а лише умовно відповідають деяким заданим кордонів опису. І ці моделі були отримані вже при розумінні суті явищ, а не навпаки. Вони в багатьох випадках просто ускладнюють розуміння, якщо спробувати дати уявлення про явище, починаючи з цих моделей. Звичайно, є випадки, коли моделі допомагають розвивати уявлення і практично використовуються в розрахунках. Але це відбувається вже після того, як хтось перший спочатку зрозуміє саму суть, а потім зрозуміє, чому і як ця суть може бути формализ ована, не обов'язково математично.
Буває, що саме початкове математичне уявлення дає можливість щось припустити в реальності, але ніколи це не дає впевненості в тому, що таке припущення справджується. Зовсім перебільшуючи, абстракція 2х2 = 4 дозволяє описувати неймовірна кількість явищ, але ні в якому разі не є відповідністю цим явищам.