Абсолютна і відносна похибка

Елементи теорії похибок

Точні і наближені числа

Точність числа, як правило, не викликає сумнівів, коли мова йде про цілі значеннях даних (2 олівця, 100 дерев). Однак, в більшості випадків, коли точне значення числа вказати неможливо (наприклад, при вимірюванні предмета лінійкою, зняття результатів з приладу і т.п.), ми маємо справу з наближеними даними.

Наближеним значенням називається число, незначно відрізняється від точного значення і заміняє його в обчисленнях. Ступінь відмінності наближеного значення числа від його точного значення характеризується похибкою.

Розрізняють такі основні джерела похибок:

1. Похибки постановки завдання. що виникають в результаті наближеного опису реального явища в термінах математики.

2. Похибки методу. пов'язані з труднощами або неможливістю вирішення поставленого завдання і заміною її подібною, такий, щоб можна було застосувати відомий і доступний метод вирішення і отримати результат, близький до шуканого.

3. Непереборні похибки. пов'язані з наближеними значеннями вихідних даних і обумовлені виконанням обчислень над наближеними числами.

4. Похибки округлення. пов'язані з округленням значень вихідних даних, проміжних і кінцевих результатів, одержуваних з застосуванням обчислювальних засобів.

Абсолютна і відносна похибка

Облік похибок є важливим аспектом застосування чисельних методів, оскільки похибка кінцевого результату рішення всієї задачі є продуктом взаємодії всіх видів похибок. Тому одним з основних завдань теорії похибок є оцінка точності результату на підставі точності вихідних даних.

Якщо - точне число і - його наближене значення, то похибкою (помилкою) наближеного значення є ступінь близькості його значення до його точного значення.

Найпростішою кількісною мірою похибки є абсолютна похибка, яка визначається як

Як видно з формули 1.1.2-1, абсолютна похибка має ті ж одиниці вимірювання, що і величина. Тому за величиною абсолютної похибки далеко не завжди можна зробити правильний висновок про якість наближення. Наприклад, якщо. а мова йде про деталі верстата, то вимірювання є дуже грубими, а якщо про розмір судна, то - дуже точними. У зв'язку з цим введено поняття відносної похибки, в якому значення абсолютної похибки віднесено до модуля наближеного значення ().

Використання відносних похибок зручно, зокрема, тим, що вони не залежать від масштабів величин і одиниць вимірювань даних. Відносна похибка вимірюється в частках або відсотках. Так, наприклад, якщо

,а. то, а якщо і,

Щоб чисельно оцінити похибка функції, потрібно знати основні правила підрахунку похибки дій:

· При додаванні і відніманні чисел абсолютні похибки чисел складаються

· При множенні і діленні чисел друг на друга складаються їх відносні похибки

· При зведенні в ступінь наближеного числа його відносна похибка збільшується на показник ступеня

Приклад 1.1.2-1. Дана функція:. Знайти абсолютну і відносну похибки величини (похибка результату виконання арифметичних операцій), якщо значення відомі, а 1 - точне число і його похибка дорівнює нулю.

Визначивши, таким чином, значення відносної похибки, можна знайти значення абсолютної похибки, як, де величина обчислюється за формулою при наближених значеннях

Оскільки точне значення величини зазвичай невідомо, то обчислення і за наведеними вище формулами неможливо. Тому на практиці проводять оцінку граничних похибок виду:

де і - відомі величини, які є верхніми межами абсолютної і відносної похибок, інакше їх називають - гранична абсолютна і гранична відносна похибки. Таким чином, точне значення лежить в межах:

Якщо величина відома, то. а якщо відома величина. то

Гранична абсолютна похибка функції виду. діфференціруемойв заданої області, при відомих значеннях аргументів. а також при відомих граничних абсолютних погрішності аргументів. обчислюється за формулою:

а, відповідно, гранична відносна похибка функції

В окремому випадку для функції від однієї змінної (при m = 1):

Прімер1.1.2-2 .Оценіть абсолютну і відносну похибки наближеного числа.

Число - трансцендентне число, видається нескінченною неперіодичної дробом.

Наближене значення числа.

Кордон абсолютної похибки. відносна похибка числа