Зрівнювання геодезичних мереж, геоінформаційні системи (гіс)

Надлишкові вимірювання. Геодезичні мережі обов'язково повинні містити надлишкові вимірювання. Вони потрібні для своєчасного виявлення та виправлення неякісних величин і для оцінки точності вимірювань. На рис. 21a показані два вектори A і B, надлишкові дані відсутні. На рис. 21б надлишково визначено вектор C. Тепер координати пункту 3 можна знайти по вектору В і проконтролювати по векторах А + С.

Мал. 21. Фрагмент геодезичної мережі; надлишкові вимірювання: а - відсутні,
б - є

До обчислень слід вирішити, що зрівнювати, як визначати ваги, враховувати чи ні
коррелированность вимірювань. Вважаємо, що зрівнювання підлягають отримані прирости координат, тобто складові Dx. Dy. Dz векторів D. Надалі в даному посібнику вони розглядаються як виміряні величини. Це припущення істотно спрощує обробку.
Ваги pi визначають відношенням дисперсії m 2 вимірювання, вага якого прийнято за одиницю (одиниці ваги) до дисперсії s i 2 поточного вимірювання:

Ці дисперсії для збільшень координат можуть бути обчислені за формулами:

D км - довжина вектора в кілометрах, D 0 км - довільна величина, чисельно дорівнює середньому з довжин векторів. Часто вважають m 2 = 1 Коефіцієнти a = від 5 до 10 мм, b = від 1до 2 мм / км. Ваги pi розташуємо на головній діагоналі діагональної вагової матриці P. Якщо вимірювання равноточние, то все ваги однакові, рівні 1 та вагова матриця стає одиничною: P = E.
Неврахування кореляцій спотворює поправки з зрівнювання до 20%. Для їх обліку потрібно скласти кореляційну матрицю K і визначити вагову матрицю з виразу
K = m 2 P -1. Для простоти в подальшому знайдені прирости координат вважаємо
некоррелірованнимі.
Коррелатное зрівнювання. В цьому випадку з'ясовують, які в мережі виникають умови і обчислюють нев'язки. У мережах з "обмірюваними" приростами координат вид умов залежить від того, як прокладений векторний хід. Якщо векторний хід утворює замкнутий контур, то векторне умова має вигляд:

де вектор Dij з'єднує пункти i і j. Цей запис означає, що суми збільшень
координат по кожній координатної осі в замкнутій фігурі дорівнюють нулю. коли хід
прокладений між векторами RI e RII двох опорних пунктів, координати яких не
підлягають виправленню, умова приймає вид:

Кожне із записаних векторних умов може бути розкладено по трьом координатним
осях і представлено трьома скалярними формулами. Підстановка в рівняння умов складових векторів Dx. Dy. Dz. отриманих з вимірювань, призведе до появи невязок. Наприклад, по осі Х для невязок отримаємо:

Аналогічно отримаємо невязки Wy і Wz. Кількість невязок r одно потроєному числу
надлишково виміряних векторів. Для прикладу нижче наведено невязки (в мм) за двома трикутниками, утвореним на навчальному полігоні МГУ вимірами двочастотних приймачами 4000 SST фірми Trimble.

Щоб невязки усунути, слід величини Dx. Dy. Dz виправити відповідно
поправками V x. V y. V z. Так, для векторного трикутника з номерами вершин 1, 2, 3 і
векторами, орієнтованими за годинниковою стрілкою, умова по осі Х матиме вигляд:

Аналогічні рівняння умов будуть по осях Y і Z. Для всіх умов в мережі отримаємо систему рівнянь

Елементами векторів V і W відповідно є шукані поправки і обчислені
невязки; матриця B містить коефіцієнти, які стоять перед поправками в умовних
рівняннях. Як бачимо, ці коефіцієнти рівні +1, 0 або -1.
Коррелатний спосіб МНК дозволяє знайти такі поправки V x. V y. V z. що зважена
сума їх квадратів буде мінімальна при збереженні всіх зазначених геометричних
умов. Вектори коррелат K і поправок V обчислюють за формулами:

Для оцінки точності обчислюють СКП одиниці ваги:

Мал. 22. Векторна геодезична мережа; А, В - вихідні пункти; 1-4 - визначаються пункти

До зрівнювання обчислюють наближені координати пунктів, що визначаються. Позначимо їх індексами 0: X0, Y0, Z0. В результаті зрівнювання визначають в ці координати поправки (параметри) d x, d y, d z і поправки V x. V y. V z в "виміряні" прирости координат Dx. Dy. Dz. Для поправки, наприклад, Vxij в складову Dxij вектора, що з'єднує пункти i і j, можна скласти рівняння:

Аналогічними будуть рівняння поправок Vyij. Vzij. Всього таких рівнянь 3n, де n
кількість виміряних векторів. Координати опорних пунктів виправленню не підлягають. Тому в рівняннях поправок в складові векторів, що спираються на один або два вихідних пункти, поправки в координати цих пунктів повинні дорівнювати нулю. Так, для векторів, що з'єднують на рис. 22 пункти A і 1, A і B, рівняння поправок, наприклад, по осі Х матимуть вигляд:

Для всіх рівнянь поправок в векторно-матричної записи матимемо:

де V - вектор з 3n поправками у виміряні величини, d - вектор з 3k поправками в
координати k визначаються пунктів, L - вектор з 3n величинами l, A - матриця
коефіцієнтів рівнянь поправок розміру 3n х 3k. Її елементами будуть +1, 0 або -1.
Вимога МНК, щоб зважена сума квадратів поправок V Т PV була мінімальною, призводить до умови V Т PV = 0. Звідси випливає система нормальних рівняння для обчислення параметрів d.

Для оцінки точності необхідно обчислити:

СКП одиниці ваги

ковариационную матрицю поправок в координати

СКП координати, що займає в векторі поправок d q- у позицію,

де Qqq - діагональний елемент на перетині q-их шпальти і рядки в матриці Q.
Збіг значень СКП одиниці ваги, обчислених до і після зрівнювання,
свідчить про правильність стратегії вибору ваг. Всі формули вірні і для корельованих вимірювань.