Знайти вказані межі

Знайти вказані межі:

а) При підстановці замість змінної її граничного значення 2 отримуємо

= =

б) При підстановці замість змінної її граничного значення -1 виходить невизначеність виду.

Для позбавлення від цього типу невизначеності в нашому випадку представимо квадратного тричлена чисельника і знаменника у вигляді твору лінійних множників, скориставшись відомою формулою:

де - корені квадратного тричлена

.

У нас. так як дискримінант квадратного тричлена

Тепер умова прикладу можна переписати в іншому вигляді і продовжити рішення:

Тут стикаємося з невизначеністю. позбавитися від якої можна винесенням за дужки в чисельнику і знаменнику дробу старшого ступеня змінної або попередньо чисельник і знаменник даної дробу розділити на. де n- найвищий ступінь чисельника і знаменника.

У першому випадку для звільнення від невизначеності будемо використовувати перший чудовий межа і одне з очевидних наслідків:

Рішення прикладу буде виглядати наступним чином:

У другому випадку для звільнення від невизначеності будемо використовувати другий чудовий межа і одне з очевидних наслідків:

Рішення прикладу буде виглядати наступним чином:

Безпосередня підстановка граничного значення аргументу призводить до невизначеності виду. Щоб розкрити цю невизначеність, помножимо чисельник і знаменник дробу на суму

Знайти похідні. користуючись правилами і формулами диференціювання. При вирішенні всіх наступних прикладів крім таблиці похідних будуть використані відомі правила диференціювання суми, різниці, добутку, дробу і теорема про похідну складної функції.

г) Якщо задана складна функція де тобто якщо кожна з функцій і диференційована за своїм аргументу, то

Дослідити функцію методами диференціального обчислення, накреслити їх графіки. Дослідження функцій та побудова графіків рекомендується проводити за наступною схемою:

1) Знайти область визначення функції

2) Дослідити функцію на неперервність; знайти точки розриву функції та її односторонні межі в точках розриву;

3) знайти точки екстремуму функції і визначити інтервали її монотонності;

4) знайти точки перегину графіка функції і визначити інтервали опуклості і угнутості графіка;

5) знайти асимптоти графіка функції;

6) побудувати графік, використовуючи результати попередніх досліджень;

7) для функції знайти найбільше і найменше значення на відрізку

1) Областю визначення даної функції є всі дійсні значення аргументу тобто =. а це значить, що функція неперервна на всій числовій прямій і її графік не має вертикальних асимптот.

2) Досліджуємо функцію на екстремум і інтервали, монотонності. З цією метою знайдемо її похідну і прирівняємо до нуля:

. Вирішуючи отримані квадратне рівняння, робимо висновок про те, що функція має дві критичні точки 1 роду: Розбиваємо область визначення цими точками на частини і по зміні знака похідної в них виявляємо проміжки монотонності і наявність екстремуму.

3) Визначимо точки перегину графіка функції, інтервали його опуклості і угнутості. Для цього знайдемо другу похідну заданої функції і прирівняємо її до нуля:

; .

Отже, функція має одну критичну точку 2 роду

Розіб'ємо область визначення отриманої точкою на частини, в кожній з яких встановимо знак другої похідної:

Значення є абсцисою точки перегину графіка функції, а ордината цієї точки:

4) З'ясуємо наявність у графіка заданої функції похилих асимптот. Для визначення параметрів рівняння асимптоти скористаємося формулами:

;

Таким чином, у графіка заданої функції похилих асимптот немає.

5) Для побудови графіка в обраній системі координат зобразимо точки максимуму. мінімуму. перегину і точки перетину графіка з віссю

З урахуванням результатів попередніх досліджень побудуємо криву.

6) Знайдемо найбільше і найменше значення заданої функції на відрізку Для цього порахуємо значення функції на кінцях цього відрізка, в критичних точках 1 роду, що потрапили на відрізок, і порівняємо результати:

Дослідити наступну функцію і побудувати схематичний графік:

1) Область визначення:

2) Дослідження на безперервність і класифікація точок розриву.

Задана функція неперервна всюди, крім точки. Обчислимо її односторонні межі в цій точці:

Таким чином, точка є для заданої функції точкою розриву другого роду, а пряма вертикальна асимптотой графіка.

3) Дослідження на екстремум і проміжки монотонності.