Zero to hero

Ми вже розібралися з експоненційної функцією в присвяченій їй статті. і нашої наступною ціллю стає натуральний логарифм.

У підручниках математики визначення натурального логарифма таке, що нічого "натурального", природного в ньому немає: він визначається як дія, зворотне функції e x. дивною вже самій по собі.

Так що ось вам нове, спрощене пояснення: Натуральний логарифм - це час, необхідний, щоб вирости до певного рівня.

Уявіть, що ви зробили інвестицію ведмедиками Гаммі (а хто так не робить?) З безперервною прибутковістю 100% річних. Якщо ви переслідуєте мету досягти десятикратного зростання вкладу, за умови "складних відсотків". вам довелося б чекати всього-то ln (10) = 2.3 року. Чи не можете зрозуміти, чому необхідно тільки пару років, щоб досягти 10х зростання? Чи не розумієте, чому послідовність перестав 1, 2, 4, 8? Почитайте про число e.

Число e і натуральний логарифм - брати-близнюки:

e x - рівень, досягнутий при безперервному зростанні за певний проміжок часу.
натуральний логарифм (ln) - проміжок часу. необхідний для росту до певного рівня.

Зовсім непогано, правда? Поки математики підбирають слова, щоб дати вам довге плутане визначення, давайте ближче подивимося на це просте і ясне.

Число e означає зростання

Число e означає безперервне зростання. Як ми бачили в попередньому випадку, e x дозволяє нам пов'язати відсоток і час: 3 роки при зростанні 100% є те ж саме, що і 1 рік при 300%, за умови "складних відсотків".

Можна підставляти будь-які значення відсотка і часу (50% протягом 4 років), але краще задати відсоток як 100% для зручності (виходить 100% протягом 2 років). За рахунок переходу до 100% ми можемо сфокусуватися виключно на компоненті часу:

e x = e відсоток * час = e 1.0 * час = e час

Очевидно, що e x означає:

наскільки виросте мій внесок через x одиниць часу (за умови 100% -го безперервного зростання).
наприклад, через 3 проміжку часу я отримаю в e 3 = 20.08 разів більше "штучок".

e x - це масштабуючий коефіцієнт, що показує, до якого рівня ми виростемо за x відрізків часу.

Натуральний логарифм означає час

Натуральний логарифм - це інверсія числа e, такий химерний термін для позначення протилежності. До речі, про примхи; по латині він називається logarithmus naturali. звідси і з'явилася абревіатура ln.

І що ця інверсія або протилежність означає?

e x дозволяє нам підставити час і отримати зростання.
ln (x) дозволяє нам взяти зростання або дохід і дізнатися час, необхідний для його отримання.

e 3 дорівнює 20.08. Через три відрізка часу у нас буде в 20.08 разів більше того, з чого ми почали.
ln (20.08) буде приблизно 3. Якщо вас цікавить зростання в 20.08 раз, вам знадобиться 3 проміжку часу (знову ж таки, за умови стовідсоткового безперервного зростання).

Все ще Новомосковскете? Натуральний логарифм показує час, потрібний, щоб досягти бажаного рівня.

Цей нестандартний логарифмический рахунок

Ви проходили логарифми - це дивні істоти. Як їм вдалося перетворити множення в складання? А розподіл в віднімання? Давайте подивимося.

Чому дорівнює ln (1)? Інтуїтивно зрозуміло, що питання стоїть так: скільки потрібно чекати, щоб отримати в 1 раз більше того, що у мене є?

Нуль. Нуль. Анітрохи. У вас вже це є один раз. Не потрібно анітрохи часу, щоб від рівня 1 дорости до рівня 1.

Добре, що щодо дрібного значення? Через скільки у нас залишиться 1/2 від наявної кількості? Ми знаємо, що при стовідсотковому безперервному зростанні ln (2) означає час, необхідний для подвоєння. Якщо ми звернемо час назад (тобто почекаємо негативне кількість часу), то отримаємо половину від того, що маємо.

Логічно, правда? Якщо ми повернемося назад (час назад) на 0.693 секунди, то виявимо половину наявної кількості. Взагалі можна перевертати дріб і брати від'ємне значення: ln (1/3) = -ln (3) = -1.09. Це означає, що, якщо ми повернемося в минуле на 1.09 відрізків часу, то виявимо лише третина від нинішнього числа.

Гаразд, а як щодо логарифма негативного числа? Скільки часу потрібно, щоб "виростити" колонію бактерій від 1 до -3?

Це неможливо! Не можна отримати негативне число бактерій, чи не так? Ви можете отримати максимум (еее. Мінімум) нуль, але вам ніяк не одержати негативне число цих маленьких створінь. У негативному числі бактерій просто немає сенсу.

ln (негативне число) = не визначено

"Не визначено" означає, що немає такого проміжку часу, який треба було б прочекати, щоб отримати негативне значення.

Логарифмічні множення - просто сміхота

Скільки часу займе чотириразовий зростання? Звичайно, можна просто взяти ln (4). Але це занадто просто, ми підемо іншим шляхом.

Можна уявити чотириразовий зростання як подвоєння (що вимагає ln (2) одиниць часу) і потім знову подвоєння (що вимагає ще ln (2) одиниць часу):

Час на 4х зростання = ln (4) = час на подвоїться і потім ще раз подвоїться = ln (2) + ln (2)

Цікаво. Будь показник зростання, скажімо, 20, можна розглядати як подвоєння відразу після 10-кратного збільшення. Або зростання в 4 рази, і потім в 5 разів. Або ж потроєння і потім збільшення в 6.666 раз. Бачите закономірність?

Логарифм від A, помноженого на B, є log (A) + log (B). Це відношення відразу набуває сенсу, якщо оперувати в термінах зростання.

Якщо вас цікавить 30-кратне зростання, ви можете почекати ln (30) за один присід, або ж почекати ln (3) Для потроєння, і потім ще ln (10) для удесятіренія. Кінцевий результат той же самий, так що звичайно час має залишатися постійним (і залишається).

Що на рахунок ділення? Зокрема, ln (5/3) означає: скільки часу знадобиться для того, щоб вирости в 5 разів, і потім отримати 1/3 від цього?

Відмінно, зростання в 5 разів є ln (5). Зростання в 1/3 рази займе -ln (3) одиниць часу. Отже,

Це означає: дайте вирости в 5 разів, і потім "поверніться в часі" до тієї позначки, де залишиться всього третина від тієї кількості, так що у вас вийде 5/3 зростання. Загалом виходить

Я сподіваюся, що дивна арифметика логарифмів починає набувати для вас сенс: множення показників зростання стає складанням одиниць часу зростання, а розподіл перетворюється в віднімання одиниць часу. Не треба запам'ятовувати правила, спробуйте усвідомити їх.

Використання натурального логарифма при довільному зростанні

- Ну звичайно, - скажете ви, - це все добре, якщо зростання 100% -ний, а що в разі 5%, які я отримую? "

Немає проблем. "Час", яке ми розраховуємо за допомогою ln (), насправді є комбінацією процентної ставки і часу, той самий Х з рівняння e x. Ми всього лише вирішили задати відсоток як 100% для простоти, але ми вільні використовувати будь-які числа.

Припустимо, ми хочемо досягти 30-кратного зростання: беремо ln (30) і отримуємо 3.4 Це означає:

Очевидно, це рівняння означає "100% -ва прибутковість протягом 3.4 років дає зростання в 30 разів". Ми можемо записати це рівняння в такому вигляді:

e x = e ставка * час
e 100% * 3.4 року = 30

Ми можемо змінювати значення "ставки" і "часу", аби ставка * час залишалося 3.4. Наприклад, якщо нас цікавить 30-кратне зростання - скільки нам доведеться чекати при процентній ставці 5%?

ln (30) = 3.4
ставка * час = 3.4
0.05 * час = 3.4
час = 3.4 / 0.05 = 68 років

Я міркую так: "ln (30) = 3.4, значить, при 100% -не зростання це займе 3.4 року. Якщо я подвою швидкість росту, необхідний час зменшиться вдвічі".

100% за 3.4 року = 1.0 * 3.4 = 3.4
200% за 1.7 року = 2.0 * 1.7 = 3.4 [200% -ве зростання означає зменшення часу вдвічі]
50% за 6.8 року = 0.5 * 6.8 = 3.4 [50% -ве зростання означає, що знадобиться в 2 рази більше часу]
5% за 68 роки = .05 * 68 = 3.4 [5% -ве зростання означає, що знадобиться в 20 разів більше часу].

Здорово, правда? Натуральний логарифм може використовуватися з будь-якими значеннями процентної ставки і часу, оскільки їх твір залишається постійним. Можете переміщати значення змінних скільки душі завгодно.

Відпадний приклад: Правило сімдесяти двох

Правило сімдесяти двох - математичний прийом, що дозволяє оцінити, скільки часу знадобиться, щоб ваші гроші подвоїлися. Зараз ми його виведемо (так!), І більш того, ми спробуємо з'ясувати його суть.

Скільки часу знадобиться, щоб подвоїти ваші гроші при 100% ставкою, наростаючою щорічно?

Оп-па. Ми використовували натуральний логарифм для випадку з безперервним зростанням, а тепер ти ведеш мову про щорічне нарахування? Чи не стане це формула непридатною для такого випадку? Так, стане, проте для реальних процентних ставок на кшталт 5%, 6% або навіть 15%, різниця між щорічним нарахуванням відсотків і безперервним зростанням буде невелика. Так що груба оцінка працює, мм, грубо, так що ми зробимо вигляд, що у нас повністю безперервне нарахування.

Тепер питання проста: Як швидко можна подвоїтися при 100% -не зростання? ln (2) = 0.693. Потрібно 0.693 одиниць часу (років - в нашому випадку), щоб подвоїти нашу суму з безперервним зростанням 100%.

Так, а що якщо процентна ставка - не 100%, а скажімо, 5% або 10%?

Легко! Оскільки ставка * час = 0.693, ми подвоїмо суму:

ставка * час = 0.693
час = 0.693 / ставка

Виходить, якщо зростання 10% -ний, це займе 0.693 / 0.10 = 6.93 років на подвоєння.

Щоб спростити обчислення, давайте домножимо обидві частини на 100, тоді можна буде говорити "10", а не "0.10":

час на подвоєння = 69.3 / ставка, де ставка виражена у відсотках.

Тепер черга подвоюватися при ставці 5%, 69.3 / 5 = 13.86 років. Однак 69.3 - не найзручніше ділене. Давайте виберемо близьке число, 72, яке зручно ділити на 2, 3, 4, 6, 8 та інші числа.

час на подвоєння = 72 / ставка

що і є правилом сімдесяти двох. Все шито-крито.

Якщо вам потрібно знайти час для потроєння, можете використовувати ln (3)

109.8 і отримати

час на потроєння = 110 / ставка

Що є ще одним корисним правилом. "Правило 72" може бути застосовано зростання по процентних ставках, зростання населення, культур бактерій, і все, що росте експоненціально.

Що далі?

Сподіваюся, натуральний логарифм тепер придбав для вас сенс - він показує час, необхідний для зростання будь-якого числа при експоненційному зростанні. Я думаю, натуральним він називається тому, що e - універсальна міра зростання, так що ln можна вважати універсальним способом визначення, скільки часу потрібно для росту.

Кожен раз, коли ви бачите ln (x), згадуйте "час, потрібний, щоб вирости в Х раз". У майбутній статті я опишу e і ln в зв'язці, так що свіжий аромат математики заповнить повітря.

Доповнення: Натуральний логарифм від e

Швидка вікторина: скільки буде ln (e)?

математичний робот скаже: оскільки вони визначені як інверсія одна інший, очевидно, що ln (e) = 1.
розуміюча людина: ln (e) це число часу, щоб вирости в "е" раз (близько 2.718). Однак число e само по собі є мірою зростання в 1 раз, так що ln (e) = 1.