Завдання групи а (в 45) однорідний стрижень довжиною м здійснює малі коливання у вертикальній
Решебник до семестрового курсу «Фізика» «Коливання і хвилі» для студентів інженерних спеціальностей усіх форм навчання.
Заняття 1. Механічні коливання і хвилі
ЗАВДАННЯ ГРУПИ А
1. (В.3.45) Однорідний стрижень довжиною м здійснює малі коливання у вертикальній площині близько горизонтальної осі, що проходить через його верхній кінець. Знайти період коливань T стрижня.
Рішення: Стрижень є фізичним маятником. Період коливань фізичного маятника
де I ─ момент інерції маятника щодо осі обертання, L ─ відстань від осі до центру мас маятника. Згідно з теоремою Штейнера,,
де момент інерції маятника щодо осі, паралельної даній і проходить через центр мас. для стрижня
де його довжина. З огляду на, що, одержимо
Підставивши значення L і I в (1.1), отримаємо період коливань стержня
2. (В.3.47) На кінцях вертикального стрижня укріплені два вантажі. Центр мас вантажів є у нижній частині стержня на відстані см. Знайти довжину стержня; якщо відомо, що період малих коливань стержня з вантажами навколо горизонтальній осі, що проходить через його середину, с. Масою стержня знехтувати в порівнянні з масою вантажів.
Рішення: Стрижень з вантажами (рис 1.1) є фізичною маятником з періодом коливань, який визначається співвідношенням (1.1).
Момент інерції маятника відносно горизонтальної осі, що проходить через центр стрижня Про з урахуванням невагомості стрижня є сума моментів інерції вантажів щодо осі обертання. Беручи вантажі за матеріальні точки, отримаємо
З огляду на, що наведена довжина фізичного маятника, а також, що маса маятника і підставляючи (1.2) в (1.1), отримаємо.
Висловимо звідси шукану величину
3. (В.3.48) Обруч діаметром см висить на цвяху, вбитому в стіну, і робить малі коливання в площині, паралельній стіні. Знайти період коливань обруча.
Рішення: Обруч, що здійснює малі коливання, є фізичним маятником з періодом коливань, обумовлених рівнянням (1.1). Момент інерції обруча щодо точки підвісу
де момент інерції відносно центру мас.
Підставляючи (1.3) в (1.1) і враховуючи, що, отримаємо
4. (В.3.49) Який найменшої довжини треба взяти нитку, до якої підвішений однорідний кулька діаметром см, щоб при визначенні періоду малих коливань T кульки можна було розглядати його як математичний маятник? Помилка при такому допущенні не повинна перевищувати 1%.
Рішення: Відомо, що відносна похибка визначення шуканої величини
де точне значення, приблизне значення цієї величини. У нашому випадку точне значення це період коливань фізичного маятника
Приблизна ж значення шуканої величини період коливань математичного маятника
де відстань від точки підвісу до центру мас маятника.
З огляду на, що в даному випадку
отримаємо вираз для періоду коливань фізичного маятника
Вирішивши систему рівнянь (1.5), (1.6) і (1.7) щодо довжини нитки, отримаємо
Оскільки за умовою, то см.
5. (В.3.50). Однорідний кулька підвішений на нитці, довжина якої дорівнює радіусу кульки. У скільки разів період малих коливань цього маятника більше періоду малих коливань математичного маятника з таким же відстанню від центру мас до точки підвісу?
Рішення: Період малих коливань математичного маятника
де довжина математичного маятника в нашій задачі. Період малих коливань фізичного маятника, що представляє собою однорідний шар радіусом підвішений на нитці довжиною [см. попередню задачу, (1.6)] дорівнює
6. (В.12.24). До пружини підвішений вантаж. Максимальна кінетична енергія коливань вантажу Дж. Амплітуда коливань см. Знайти жорсткість пружини.
Рішення: В процесі коливань відбувається перетворення кінетичної енергії в потенційну і назад, причому повна енергія залишається постійною. У моменти найбільшого відхилення від положення рівноваги
де жорсткість пружини. У моменти проходження вантажем положення рівноваги
Тому можна записати
7. (В.12.26) Мідний кулька, підвішений до пружини, здійснює вертикальні коливання. Як зміниться період коливань, якщо до пружини замість мідного кульки підвісити алюмінієвий такого ж радіуса?
Рішення: Період коливань пружинного маятника вантажу масою m. підвішеного на абсолютно пружної пружині жорсткістю k. дорівнює
При заміні вантажу масою вантажем масою, підвішеним до тієї ж пружині, період коливань маятника зміниться в раз. З рівності радіусів кульок слід рівність їх обсягів. Висловимо маси тел через їх щільності Звідси, взявши з табличних даних для міді кг / м 3 і для алюмінію кг / м 3. отримаємо
Таким чином, період коливань пружинного маятника зменшиться в 1,8 рази.
8. (В.12.53). Тіло масою г здійснює затухаючі коливання з максимальною амплітудою см, початковою фазою і коефіцієнтом загасання з -1. На це тіло почала діяти зовнішня періодична сила, під дією якої встановилися вимушені коливання. Рівняння вимушених коливань має вигляд см. Знайти (з числовими коефіцієнтами) рівняння власних коливань і закон зміни зовнішньої періодичної сили.
Рішення: Рівняння власних коливань в системі з загасанням (1.8),
частота власних згасаючих коливань, частота власних незатухаючих коливань. Під дією зовнішньої періодичної сили виду в системі встановлюються вимушені коливання,
де амплітуда вимушених коливань. За умовою см,,. Зрушення фаз між вимушеними коливаннями і змушує силою
Висловимо звідси. Підставивши в (1.9), знайдемо частоту затухаючих коливань
Тоді рівняння власних коливань (1.8) з урахуванням числових коефіцієнтів набуде вигляду
Максимальне значення зовнішньої періодичної сили
Підставляючи в нього отриманий вираз для, запишемо
Рівняння змушує сили з числовими коефіцієнтами
9. (В.12.55). По грунтовій дорозі пройшов трактор, залишивши сліди у вигляді ряду заглиблень, що знаходяться на відстані см один від одного. Цією дорогою покотили дитячу коляску, що має дві однакові ресори, кожна з яких прогинається на см під дією вантажу масою кг. З якою швидкістю котили коляску, якщо від поштовхів на поглибленнях вона, потрапивши в резонанс, почала сильно розгойдуватися? Маса коляски кг.
Рішення: Коляска почне сильно розгойдуватися, якщо проміжок часу між двома послідовними поштовхами
на поглибленнях буде дорівнює періоду власних коливань коляски
З урахуванням того, що на кожну з двох ресор коляски доводиться маса, а сила пружності в положенні рівноваги по модулю дорівнює вазі вантажу, вираз для періоду матиме вигляд
Прирівнюючи праві частини (1.10) і (1.11) і виражаючи, отримаємо
Рахуємо: м / с км / год.
10. (В.12.60). Рівняння незатухаючих коливань має вигляд
Знайти зміщення x від положення рівноваги, швидкість υ і прискорення а точки, що знаходиться на відстані м від джерела коливань, для моменту часу с після початку коливань. Швидкість поширення коливань м / с.
Рішення: Рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується в напрямку осі
Швидкість хитається точки
З урахуванням умов завдання см,,,.
6. (В.12.62). Знайти різницю фаз коливань двох точок, що лежать на промені і віддалених на відстані м один від одного, якщо довжина хвилі м.
Рішення: Для одного і того ж моменту часу зміщення в точці 1.
Різниця фаз коливань цих точок середовища
ЗАВДАННЯ ГРУПИ З
1. (І.4.3). Частка здійснює гармонійні коливання уздовж осі біля положення рівноваги. Частота коливань рад / с. В деякий момент координата частинки см і її швидкість см / с. Знайти координату і швидкість частинки через с після цього моменту.
Вказівка до вирішення. Запишіть зміщення і швидкість частинки в момент часу; висловіть з цієї системи рівнянь амплітуду А і фазу коливань. З огляду на, що через проміжок часу після цього моменту фаза коливань буде, знайдіть зсув і швидкість для моменту часу.
2. (І.4.21). Маятниковий годинник встановили в кабіні ліфта, яка почала підніматися з постійним прискоренням a, причому a 3. Опір рідини вважати дуже незначним.
Вказівка до вирішення. Отримайте рівняння вільних коливань виду
де відхилення ареометра в вертикальному напрямку від положення рівноваги. Для цього запишіть другий закон Ньютона для ареометра, зміщеного на довільне відстань від положення рівноваги, враховуючи, що виштовхує сила з боку рідини є функцією.
4. (І.4.48). Фізичний маятник встановили так, що його центр ваги виявився над точкою підвісу. З цього положення маятник почав рухатися до положення стійкої рівноваги, яке він пройшов з кутовий швидкістю . Нехтуючи тертям, знайти період малих коливань цього маятника.
Вказівка до вирішення. Величини, що входять в формулу для періоду малих коливань фізичного маятника. Отримайте з тих міркувань, що спад потенційної енергії тіла, що є фізичною маятником, при переході з верхньої в нижню точку траєкторії дорівнює приросту його кінетичної енергії обертального руху.
5. (І.4.73). Математичний маятник здійснює коливання в середовищі, для якої логарифмічний декремент загасання. Яким буде логарифмічний декремент загасання, якщо опір середовища збільшити в рази? В яку мінімальну кількість разів cледует збільшити опір середовища, щоб коливання стали неможливі?
Вказівки до вирішення. Висловіть логарифмічний декремент загасання як функцію відносини. З огляду на, що, отримаєте (характеристики коливань в середовищі, де опір середовища збільшено в раз).
Коливання стануть неможливі, якщо опір середовища зросте настільки, що ставлення стане рівним одиниці. Знайдіть з урахуванням цього міркування.
6. (І.4.77). Знайти добротність математичного маятника довжиною см, якщо за проміжок часу хв його повна механічна енергія зменшилася в раз.
Вказівка до вирішення. Покажіть, що даний маятник коливальна система з малим загасанням, тобто для нього . Величину легко висловити з даних завдання. Щоб оцінити, припустимо, що умова малого загасання виконується; тоді в вираженні для повної енергії коливань системи можна опустити доданок, що містить синус (див. Савельєв І.В. Курс загальної фізики, т.1, 1982 р § 58). В цьому випадку в довільний момент часу і знайдемо з виразу. Порівнявши і та встановивши, що в системі спостерігаються малі загасання, можна скористатися для визначення добротності формулою, де логарифмический коефіцієнт загасання.
7. (І.4.85). Кулька маси. підвішений до пружинці, подовжує останню на величину. Під дією зовнішньої вертикальної сили, мінливої по гармонійному закону з амплітудою. кулька здійснює вимушені коливання. Логарифмічний декремент загасання дорівнює. Нехтуючи масою пружинки, знайти циклічну частоту змушує сили, при якій амплітуда зміщення кульки максимальна. Яке значення цієї амплітуди?
Вказівка до вирішення. Амплітуда вимушених коливань максимальна при резонансі. Тому потрібно шукати циклічну частоту резонансу і амплітуду резонансу.
8. (І.4.90). Кулька масою г підвішений на невагомою пружинці жорсткості Н / м. Під дією змушує вертикальної гармонійної сили, що змінюється з частотою рад / с, кулька робить сталі коливання з амплітудою а см. При цьому зміщення кульки відстає по фазі від допустимої сили на. Знайти: а) добротність даної коливальної системи; б) роботу змушує сили за період коливання.
Вказівка до вирішення. а) Добротність коливальної системи
де енергія повних коливань в системі в момент часу і через період коливань після цього моменту, відповідно. Оскільки енергія пропорційна квадрату амплітуди коливань,.
Коефіцієнт загасання і період коливань можна знайти, знаючи період власних незатухаючих коливань маятника і зміщення вимушених коливань кульки по фазі від допустимої сили.
б) Робота, що здійснюється за період змушує силою компенсує роботу сил опору
де зсув кульки під дією сили. Підставивши в формулу роботи похідну від по і проинтегрировав цей вислів, отримаєте відповідь.