Врівноважена система сил

Необхідною і достатньою умовою рівноваги плоскої системи сил є рівність нулю головного вектора і головного моменту системи:

З цієї умови слідують рівняння рівноваги плоскої системи сил. які можна записати в трьох різних формах:

Перша форма:
$$ \ sum M_A = 0 \\ \ sum X = 0 \\ \ sum Y = 0 $$

Друга форма:
$$ \ sum M_A = 0 \\ \ sum M_B = 0 \\ \ sum Y = 0 $$. де вісь Oy Неперпендикулярність відрізку АВ.

Третя форма:
$$ \ sum M_A = 0 \\ \ sum M_B = 0 \\ \ sum M_C = 0 $$. де точки А, В і С не лежать на одній прямій.

Таким чином, ці три форми еквівалентні умові рівноваги рівноваги плоскої системи сил і навпаки.

Справді, умова $ \ vec = 0 $ означає, що $ | \ vec | = R_0 = 0 $. Тому з урахуванням «Теорема про приведення плоскої системи сил». $ R_0 ^ 2 = (\ sum X) ^ 2 + (\ sum Y) ^ 2 = 0 $. звідки і слідують два останніх рівняння «необхідного і достатнього умови рівноваги плоскої системи сил».

Перше з рівнянь (перша форма) виходить з умови рівності нулю головного моменту, якщо в якості центру приведення взяти точку А.

Доведемо тепер, що рівняння другий форми еквівалентні умовам рівноваги плоскої системи сил.

Перше з рівнянь другого форми буде виконуватися в двох випадках:

система сил, прикладених до ТТ, врівноважена і її рівнодіюча дорівнює нулю;

рівнодіюча сил, прикладених до ТТ, відмінна від нуля, при цьому її лінія дії проходить через точку А.

Нехай одночасно виконуються два перших рівняння системи (друга форма). Це як і раніше можливо в двох випадках:

рівнодіюча $ \ vec = 0 $;

рівнодіюча $ \ vec \ neq 0 $ і її лінія дії одночасно проходить через точки А і В.

Якщо на додаток до цих двох рівнянь виконується і третє рівняння другий форми. то це означає, що $ R_y = \ sum Y_i = 0 $.

За умови, що $ \ vec $ Неперпендикулярність цієї осі - звідси буде слідувати, що $ \ vec = 0 $. тобто система сил врівноважена.

Аналогічно можна довести, що умови рівноваги рівноваги плоскої системи сил будуть слідувати з рівнянь першої або третьої форм.

Примітки:

В окремому випадку для плоскої системи збіжних або паралельних сил рівняння в системах трьох форм будуть лінійно залежні. Це означає, що визначник системи алгебраїчних рівнянь для визначення опорних реакцій таких систем сил стає рівним нулю.
Наприклад, для системи сил паралельних осі Oy рівняння першої форми стануть лінійно залежними внаслідок того, що друге з рівнянь цієї системи звернеться в тотожність, яке виконується як для врівноважених, так і для неврівноважених систем.
Такі рівняння виключають із системи, зменшуючи тим самим загальне число рівнянь для плоскої системи збіжних або паралельних сил з трьох до двох.

Відповідно до попереднього зауваженням рівняння рівноваги системи сил, паралельних осі Oy. можна записати в двох формах:

Перша форма:
$$ \ sum M_A = 0 \\ \ sum Y = 0 $$. де вісь Oy Неперпендикулярність силам системи.

Друга форма:
$$ \ sum M_A = 0 \\ \ sum M_B = 0 $$. де відрізок АВ непараллелен силам системи.

Таким чином, якщо при розгляді довільної плоскої системи сил з'ясується, що вона в дійсності є системою сходяться або паралельних сил, можна спростити рішення задачі, скориставшись замість «рівняння рівноваги плоскої системи сил» системою з попереднього пункту - для паралельних або $ \ sum X_i = 0 \ ;; \; \ Sum Y_i = 0 $ - для сходяться сил.