Визначення моменту інерції маховика, контент-платформа
Визначення моменту інерції маховика
Мета. визначити момент інерції маховика, застосувати теорему Штейнера.
Устаткування. спеціальна установка, вантаж, штангенциркуль, секундомір.
Розглянемо незмінну систему матеріальних точок (абсолютно тверде тіло). Центром мас або центром інерції системи матеріальних точок називається така уявна точка, радіус вектор якої виражається через радіус-вектори матеріальних точок по формулі
Мірою інерції такої системи при поступальному русі є загальна маса всієї системи. Мірою інерції системи при обертальному русі служить величина
яка називається моментом інерції. Ця величина залежить від розташування частин тіла щодо осі обертання.
Нехай - момент інерції системи відносно осі, що проходить через центр мас. Знайдемо - момент інерції системи відносно паралельної осі, що проходить через точку (осі перпендикулярні площині рис. 1). Позначимо через - відстань між осями. тоді
Перший доданок являє собою момент інерції щодо колишньої осі, що проходить через точку, в другому доданку сума дорівнює нулю, т. К. Колишня вісь перейдеш у центр мас і, сума в третьому доданку дорівнює масі всієї системи. отримуємо
- математичне формулювання теореми Гюйгенса-Штейнера. момент інерції системи матеріальних точок (тіла) щодо будь-якої осі дорівнює моменту інерції щодо паралельної осі, що проходить через центр інерції, складеному з величиною, де - відстань між осями, а - маса всієї системи.
Якщо речовина в тілі розподілено безперервно, то обчислення моменту інерції зводиться до обчислення інтеграла
в якому - це відстань від осі обертання до елемента маси.
При обчисленні моментів інерції однорідних тіл простої форми щодо осі симетрії, що проходить через центр мас виходить результат, який може бути представлений у вигляді:
де - коефіцієнт пропорційності, що залежить від форми тіла і вибору осі, - маса тіла, - характерний розмір тіла (радіус, ширина, довжина і т. д.) або характерне відстань від частини тіла до осі. Наприклад, для однорідного диска або циліндра -, для кільця, для однорідної кулі, де - радіус тіла.
Маховик 1 у вигляді диска з різьбовими отворами насаджений на вісь (рис. 2) і може обертатися з малим тертям. На тій же осі знаходиться шків 2 радіусом, на який намотується нитка. До іншого кінця нитки прив'язаний вантаж 4 масою, під дією якого система приводиться в обертання. Шлях, пройдений вантажем до свого нижнього положення (коли нитка повністю розмотається), визначається за шкалою 3. уздовж якої вантаж рухається.
В різьбові отвори диска можуть укручуватися додаткові вантажі 5 циліндричної форми радіусу і маси.
В установці передбачено автоматичне вимірювання часу руху вантажу до нижньої точки і відстані, на яке піднімається вантаж по інерції після проходження нижнього положення.
Опис методу вимірів
Якщо намотати нитку на шків, піднявши вантаж на висоту, то він буде володіти потенційною енергією. При падінні вантажу його потенційна енергія переходить в кінетичну енергію поступального руху вантажу, енергію обертання диска і роботу з подолання моменту сил тертя. Знаючи час падіння вантажу до нижньої точки, можна визначити кінцеву швидкість руху вантажу і кутову швидкість обертання диска, де - радіус шківа.
При русі в підшипниках діє момент сил тертя, для подолання якого на шляху, здійснюється робота
де - кут повороту диска (кутове переміщення).
Робота сил тертя дорівнює зміні механічної енергії системи
Відповідно до закону збереження енергії і рівністю (5)
Момент сил тертя знаходиться з таких міркувань. Після того, як вантаж опуститься до нижньої точки, маховик, продовжуючи обертання по інерції, підніме вантаж на висоту; там його потенційна енергія менше, ніж початкова, на величину роботи, досконалої проти сил тертя на всьому шляху. Із закону збереження енергії і формули (2) випливає
Вирішуючи спільно рівняння (7) і (8), отримаємо розрахункову формулу для моменту інерції тіла, що обертається:
Отже, для визначення моменту інерції маховика, необхідно знати його масу, вибрати шків і виміряти його радіус, а також вибрати - початкову висоту, якої починає рухати вантаж. Вимірюючи час руху вантажу до нижньої точки і висоту, на яку підніметься вантаж при обертанні маятника за інерцією, за формулою (9) знайдемо - момент інерції маховика. Для зменшення похибки, викликаної випадковими чинниками, експеримент необхідно повторити кілька разів, використовуючи для обчислення середні значення вимірюваних величин.
Завдання 1. Визначення моменту інерції диска
1. Зняти додаткові вантажі з диска.
2. Виміряти штангенциркулем радіус шківа, радіус диска, радіус кільця і записати їх в табл. 1.
3. Визначити масу вантажу, підвішеного до нитки і записати її в таблицю. Маси диска і кільця вказані на установці.
4. Приєднати вантаж до нитки, зазначивши на шкалі його нижнє положення.
5. Включити живлення на установці кнопкою зі зворотного боку секундоміра, обертаючи диск, намотати нитку в один шар на шків. Включити електромагніт червоною кнопкою, розташованої у верхній частині установки, зафіксувавши положення маховика. Виміряти і записати відстань від вантажу до нижньої точки.
6. Натиснути кнопку «Пуск». У момент проходження вантажем нижнього положення секундомір вимикається. Продовжуючи далі спостереження за рухом вантажу, помітити висоту, на яку підніметься вантаж, рухаючись за інерцією. Показання секундоміра і висоту записати в табл. 1.
7. Повторити вимірювання ще чотири рази при тих же значеннях, і.
8. Обчислити експериментальне значення моменту інерції маховика за формулою (9), підставивши в неї середні значення і.
9. Оцінити теоретичне значення моменту інерції маховика, що складається з диска радіусом і масою і кільця радіусом і масою, по формулі
10. Порівняти отримані результати і зробити висновок.
Завдання 2. Застосування теореми Гюйгенса-Штейнера
1. Визначити масу і радіус додаткових вантажів. Закріпити їх на однаковому мінімальній відстані від осі обертання на диску установки і провести вимірювання відстані від осі обертання до центра вантажів. Результати цих вимірів занести в табл. 2.
2. Занести в табл. 2 результати вимірювань, отриманих в завданні 1: радіус шківа, масу вантажу, відстань, яку проходить вантажем до нульової позначки, а також записати число додаткових вантажів.
3. Провести вимірювання (див. П. П. 6-7 завдання 1) і результати занести в табл. 2.
4. Розрахувати момент інерції маховика з додатковими вантажами (формула 9).
Якщо прямі вимірювання відстані від осі до центру додаткових вантажів утруднені, то можна провести вимірювання в кілька прийомів. За допомогою штангенциркуля визначити відстань між крайками додаткових вантажів (див. Рис. 3) і діаметр додаткового вантажу, тоді