Визначення і класифікація процесів відновлення

31. Процеси відновлення

Визначення і класифікація процесів відновлення

У пуассоновском процесі інтервали між послідовними подіями були незалежні і однаково експоненціально розподілені. Очевидне і важливе узагальнення виходить в припущенні, що інтервали між послідовними подіями взаємонезалежні і однаково розподілені з деякою загальною щільністю ймовірності.

Що Виходить серія точкових подію на осі часу називається процесом відновлення.

Перш ніж класифікувати процеси відновлення, наведемо приватний пояснює приклад. Розглянемо елементи, схильні до відмов. Припустимо, що є сукупність елемеітоі і що тривалість безвідмовної роботи елемента є неотрицательной безперервною випадковою величиною з щільністю ймовірності. Припустимо, що негайно після відмови кожен елемент замінюється таким же, але новим. Тоді можливі наступний три випадки. Якщо робота з новим елементом починається при, то все інтервали часу між послідовними відмовами, включаючи і перший, матимуть один і той же розподіл. Однак, якщо елемент вже використовувався при і тому не є новим, то час до першої відмови буде характеризувати залишковий термін його служби і буде відрізнятися від часу безвідмовної роботи нового елемента. Можливий також випадок, коли початок відліку часу взято через великий проміжок часу після початку процесу, що має велику тривалість.

Отже, припустимо, що перша подія процесу відбувається в момент часу друге - в момент часу, подія - в момент часу

де - незалежні невід'ємні неперервні випадкові величини, причому мають однакову загальну щільність ймовірності може мати іншу щільність ймовірності.

Допускаючи можливість різного вибору початку відліку часу, можемо отримати три приватних виду процесу відновлення.

1. Простий процес відновлення, коли, т. Е. Коли всі випадкові величини. мають однакову щільність ймовірності.

2. Громад (або модифікований) процес відновлення, коли щільності ймовірності і не обов'язково однакові. В даному випадку виконані всі умови простого процесу відновлення, за винятком того, що тривалість від початку до першої відмови має розподіл, відмінне від розподілу для всіх інших тривалостей безвідмовної роботи.

3. Стаціонарний процес відновлення, коли має спеціальний вид,

де - середній час безвідмовної роботи і - функція розподілу, відповідна щільності ймовірності

визначає ймовірність того, що елемент відмовив до моменту. Фізично таку назву пояснюється наступним. Припустимо, що простий процес відновлення почався в віддаленому минулому.

Мал. 31.1. Ілюстрація роботи електронного лічильника зареєстровані частки, час блокування).

Якщо спостереження процесу починається в момент, то тривалість до першої відмови матиме щільність ймовірності (2). Тому стаціонарний процес відновлення можна розглядати як простий процес відновлення, при якому система почала функціонувати задовго до того, як вона вперше спостерігалася (див. Також (52)).

Необхідно спеціально домовитися про те, що термінам елемент і тривалість безвідмовної роботи можна надавати різний фізичний зміст і інтерпретувати їх по-різному в залежності від конкретного завдання (див. Наведений нижче приклад з лічильниками).

Можна привести багато інших, більш складних процесів відновлення, коли є інтервали двох, трьох і т. Д. Типів [127]. Наведемо один з таких прикладів, що відноситься до теорії обслуговування. Розглянемо емісію потоку частинок, припустимо, від радіоактивного джерела, що описується законом Пуассона з параметром інтенсивності. Припустимо, що частинки реєструються електронним лічильником, який працює у відповідності з наступним правилом. Спочатку лічильник вільний. Після випадкового часу, експоненціально розподіленого з параметром, відбувається емісія і вона реєструється лічильником. Потім лічильник блокується на час, протягом якого емісія не реєструється. Після цього лічильник стає вільним і чергова емісія, яка з'явилася після часу, реєструється. Далі цикл повторюється (рис. 31.1).

При різних припущеннях про статистичні характеристики двох послідовностей випадкових величин і ми отримаємо різні процеси відновлення.

При прийнятому припущенні про пуассоновском характер емісії випадкові величини незалежні і однаково експоненціально розподілені з параметром v. Припустимо, що часи блокування також незалежні і однаково розподілені з щільністю ймовірності, причому обидві послідовності випадкових величин і взаємонезалежні. Нехай нас цікавить точковий процес - зареєстровані частки. При обумовлених вище припущеннях цей точковий процес утворює загальний процес відновлення, в якому час першої події експоненціально розподілено з параметром, а часи наступних подій і т. Д. Мають однакові щільності ймовірності у вигляді згортки зі згаданим вище експоненціальним розподілом.

Мал. 31.2. Альтернирующий процес відновлення.

Якщо змінити початкову умову, а саме, вважати, що період блокування починається при, то описаний вище точковий процес буде простим процесом відновлення. Якщо на додаток до цього ототожнити час блокування електронного лічильника з його мертвим часом і вважати його постійним, то інтервали між зареєстрованими частинками матимуть зміщене показовий розподіл.

Відзначимо, до речі, що основним завданням в теорії лічильників є встановлення кількісної залежності середнього значення і дисперсії числа зареєстрованих частинок від параметра інтенсивності v і параметрів розподілу часу блокування [135, 136].

Наведений приклад допускає такий природний узагальнення. Нехай є дві взаємонезалежних послідовності невід'ємних безперервних випадкових величин і. Припустимо, що випадкові величини кожної з цих послідовностей також незалежні між собою і всі мають однакові щільності ймовірності і відповідно. Утворити точковий процес, беручи по черзі випадкові величини з двох послідовностей (рис. 31.2). Процес починається з інтервалу -го типу, в кінці якого має місце подія -го типу. За ним йде інтервал -го типу, що закінчується подією -го типу в момент часу і т. Д .; подія -го типу відбувається в момент часу

а подія є подія 2-го типу, що здійснюється в момент часу

Добутий випадковий точковий процес з послідовними інтервалами двох типів називається альтернірующій процесом відновлення. Якщо обидві щільності ймовірності є експонентними, припустимо, з параметрами і, то такий процес називається альтернірующій процесом Пуассона.

При теоретичному розгляді альтернирующих процесів відновлення зазвичай вважають, що зміна станів (типів інтервалів) описується ланцюгом Маркова з двома станами з відомою матрицею ймовірностей переходу. По суті такі процеси були вивчені в § 8. Надалі ми розглянемо основні статистичні характеристики найпростіших процесів відновлення.