Векторний витвір

Властивості векторного твори

Векторний витвір

Площа паралелограма дорівнює векторному добутку

  • Вектори a і b> колінеарні тоді і тільки тоді, коли a × b = 0 = \ mathbf>. З визначення випливає, що рівність нулю векторного твори еквівалентно або рівності нулю одного із співмножників (а нульовий вектор коллінеарен всім іншим), або рівності нулю синуса кута між векторами. Оскільки будь-який вектор коллінеарен самому собі, то a × a = 0>.
  • Модуль векторного добутку чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах. Випливає з визначення. Нехай e> - одиничний вектор, перпендикулярний векторах a і b> і обраний так, що трійка (ab e), \ mathbf)> позитивно орієнтована, S Π (a. B)) >> - площа паралелограма, побудованого на векторах a і b>. Тоді a × b = S Π (a. B) e = S _)> \ mathbf>.
  • Антикоммутативність: a × b = - b × a = - \ mathbf \ times \ mathbf>.
  • Асоціативність відносно множення на скаляр: (k a) × b = k (a × b) = a × (k b) = k (\ mathbf \ times \ mathbf) = \ mathbf \ times (k \ mathbf)>.
  • Дистрибутивність по додаванню: (a 1 + a 2) × b = a 1 × b + a 2 × b + \ mathbf _) \ times \ mathbf = \ mathbf _ \ times \ mathbf + \ mathbf _ \ times \ mathbf>.
  • Тотожність Якобі: (a × b) × c + (b × c) × a + (c × a) × b = 0) \ times \ mathbf + (\ mathbf \ times \ mathbf) \ times \ mathbf + (\ mathbf \ times \ mathbf) \ times \ mathbf = \ mathbf>.
  • Тотожність Лагранжа: a × (b × c) = b (a ⋅ c) - c (a ⋅ b) \ times \ mathbf) = \ mathbf (\ mathbf \ cdot \ mathbf) - \ mathbf (\ mathbf \ cdot \ mathbf )>. Для запам'ятовування використовують мнемонічне правило «БАЦ мінус ЦАБ»

Векторний добуток в ортонормованій системі координат Правити

a × b = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3) × (b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3) = = a 1 b 1 e 1 × e 1 + a 2 b 2 e 2 × e 2 + a 3 b 3 e 3 × e 3 ⏟ 0 + (a 1 b 2 - a 2 b 1) e 1 × e 2 ⏟ e 3 + (a 1 b 3 - a 3 b 1) e 1 × e 3 ⏟ - e 2 + (a 2 b 3 - a 3 b 2) e 2 × e 3 ⏟ e 1 = = | a 2 a 3 b 2 b 3 | e 1 - | a 1 a 3 b 1 b 3 | e 2 + | a 1 a 2 b 1 b 2 | e 3 = | a 2 a 3 b 2 b 3 | e 1 + | a 3 a 1 b 3 b 1 | e 2 + | a 1 a 2 b 1 b 2 | e 3 \ mathbf \ times \ mathbf = (A_ \ mathbf _ + a_ \ mathbf _ + a_ \ mathbf _) \ times (b_ \ mathbf _ + b_ \ mathbf _ + b_ \ mathbf _) = \\ = \ underbrace b_ \ mathbf _ \ times \ mathbf _ + a_b_ \ mathbf _ \ times \ mathbf _ + a_b_ \ mathbf _ \ times \ mathbf _> _> + (a_b_-a_b _) \ underbrace _ \ times \ mathbf _> _ _> + (a_b_-a_b _) \ underbrace _ \ times \ mathbf _> _ _> + (a_b_-a_b _) \ underbrace _ \ times \ mathbf _> _ _> = \\ = a_a _ \\ b_b_ \ end> ​​\ mathbf _-a_a _ \\ b_b_ \ end> ​​\ mathbf _ + a_a _ \\ b_b_ \ end> ​​\ mathbf _ = a_a _ \\ b_b_ \ end> ​​\ mathbf _ + a_a _ \\ b_b_ \ end> ​​\ mathbf _ + a_a _ \\ b_b_ \ end> ​​\ mathbf _ \ end >>