Векторний базис на площині і в просторі - студопедія

Визначення 1.Лінейной комбінацією векторів ,. називається сума добутків цих векторів на якісь числа. . . + +.

Визначення 2.Векторним базисом в даній площині називається будь-яка пара неколінеарних векторів і цій площині.

Вектор називають при цьому першим базисним вектором, вектор-друге.

Справедлива наступна теорема.

Теорема 1. Якщо базис, - векторний базис в площині, тоді будь-який вектор цій площині може бути представлений, і до того ж єдиним чином, у вигляді лінійної комбінації базисних векторів. = Х + у. (*)

Визначення 3. Рівність (*) називають розкладанням векторапо базису ,. а числа х і у -коордінатамі векторав базисі, (або щодо базису,). Якщо заздалегідь ясно, про яке базисі йдеться, то пишуть коротко: =. З визначення координат вектора щодо базису слід, що рівні вектори мають відповідно рівні координати.

Два і більше векторів в просторі називаються компланарними, якщо вони паралельні одній і тій же площині або лежать в цій площині.

Визначення 4.Векторним базисом в просторі називають будь-які три вектори,. .

Вектор називають при цьому першим базисним вектором, - другим, по-третє.

Зауваження. 1. Три вектора = <>, = <> і = <> утворюють базис простору, якщо визначник, складений з їх координат, відмінний від нуля:

.

2. Основні положення теорії визначників і способи їх обчислення розглянуті в модулі 1 «лінійна алгебра».

Теорема 2. Нехай,. - векторний базис в просторі. Тоді будь-який вектор в просторі може бути представлений, і до того ж єдиним чином, у вигляді лінійної комбінації базисних векторів, і:

Визначення 5. Рівність (**) називають розкладанням векторапо базису ,. . а числа x, y, z-координатами (компонентами) вектора в базисі,. .

Якщо заздалегідь ясно, про яке базисі йдеться, то пишуть коротко: =.

Визначення 6. Базис,. називається ортонормованим, якщо вектори,. попарно перпендикулярні і мають одиничну довжину. В цьому випадку прийняті позначення. . .