Вектори в n-вимірному просторі

n-мірні арифметичні вектори

n-мірним арифметичним вектором називається впорядкована сукупність n дійсних чисел, а числа, що входять в цю сукупність, називаються координатами вектора.

Число координат вектора називається його розмірністю.

Якщо всі координати вектора дорівнюють нулю, то вектор називається нульовим і позначається 0 або

.

Якщо відповідні координати векторів іравни, то вектори називаютсяравнимі:

Найбільш простими операціями над n-мірному векторами є складання векторів, віднімання векторів і множення вектора на число. Такі операції називаються лінійними. Додавати і віднімати можна вектори тільки однакової розмірності.

Сумою (різницею) двох n -мірних векторів іназиваетсяn -мірний вектор

Проізведеніемn -мірного вектора на число

називаетсяn -мірний вектор

.

Таким чином, при додаванні або вирахуванні векторів складаються або віднімаються їх однойменні координати. При множенні вектора на число кожна координата вектора множиться на це число.

Безліч всіх n -мірних векторів з введеними на ньому операціями додавання, віднімання і множення вектора на число називається n-мірним арифметичним векторним простором і позначається

.

Лінійна залежність векторів

Нехай є mn -мірних векторів

іm дійсних чисел . вираз

називається лінійною комбінацією векторів

, а числаназиваютсякоеффіціентамі лінійної комбінації.

Лінійна комбінація n -мірних векторів також є n -мірним вектором.

вектори

називаютсялінейно залежними. якщо існують такі числа , з яких хоча б одне відмінно від нуля, що виконується рівність

.

Якщо це рівність можливо лише в разі, коли всі числа

дорівнюють нулю, то векториназиваютсялінейно незалежними.

розглянуті вектори

називаютсясістемой векторів.

Якщо деякий вектор

може бути представлений у вигляді лінійної комбінації векторівтобто

,

то розширена система векторів буде лінійно залежною. І, навпаки, якщо система векторів

лінійно залежна, то один з векторів системи може бути представлений у вигляді лінійної комбінації інших.

Таким чином, умова лінійної залежності векторів можна сформулювати наступним чином: система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів системи є лінійною комбінацією інших векторів.

Базис і ранг системи векторів

Нехай дана система векторів

.Базисом даної системи векторів (максимальної лінійно незалежної підсистемою) називається така підсистема, вектори якої лінійно незалежні, а будь-який інший вектор системи є їх лінійною комбінацією.

Система векторів може мати кілька базисів. При цьому всі вони містять однакову кількість векторів.

Рангом системи векторів називається число векторів в будь-якому базисі системи. Іншими словами, ранг системи векторів дорівнює максимальному числу лінійно незалежних векторів системи.

Базісомn -мірного векторного простору називається сукупність n лінійно незалежних векторів цього простору.

Розкладання вектора по системі векторів

Нехай є система векторів

, що належать простору, і довільний вектор:

, , ...,,. Уявімо вектору вигляді лінійної комбінації векторів:

.

Такий запис називається розкладанням вектора

по векторах. У зв'язку з цим виникає питання: чи завжди можна довільний векторрозкласти по векторахцього ж простору?

Запишемо дану лінійну комбінацію у вигляді:

Отримано система n рівнянь з m змінними

. Якщо дана система має єдине рішення, то векторєдиним чином може бути розкладений за векторами. В цьому випадкуназиваються коефіцієнтами розкладання векторапо векторах. Якщо отримана система рішень не має, то векторне може бути розкладений за векторами. Якщо ж система має незліченну безліч рішень, то векторможе бути розкладений за векторамибезліччю різних способів.

Таким чином, уявлення вектора у вигляді лінійної комбінації системи векторів рівносильно рішенню системи лінійних рівнянь.

нехай вектори

являють собою деякий базісn-мірного векторного простору. Тогдалюбой вектор цього простору може бути розкладений за векторами базису і притому єдиним чином.

Приклад 1. дано вектори

,і, утворюють базис тривимірного векторного простору. розкласти векторпо цьому базису.

Рішення . За умовою завдання вектор

потрібно представити у вигляді лінійної комбінації векторів, Тобто. Остання рівність запишемо у вигляді

Отримано система трьох рівнянь з трьома змінними

. Вирішивши цю систему, отримаємо. Таким чином,.

Питання для самоконтролю знань

Що називається n-мірним арифметичним вектором?

Як визначається сума, різниця двох n-мірних векторів і твір n-мірного вектора на скаляр?

Що таке лінійна комбінація m векторів?

Яка система векторів називається лінійно залежною і лінійно незалежною?

Що розуміють під розкладанням вектора по системі векторів?

Що називається базисом системи векторів і базисом простору?

Завдання для самостійної роботи

Дано вектори, що утворюють базис двовимірного простору. розкласти вектор

по цьому базису.

розкласти вектор

по базису.