Вектори кутової швидкості і кутового прискорення
Введемо поняття векторів кутової швидкості і кутового прискорення тіла. Якщо - одиничний вектор осі обертання, спрямований в її позитивну сторону, то вектори кутової швидкості і кутового прискорення визначають виразами:
Так як - постійний по модулю і напрямку вектор, то з (63) випливає, що
При і напрями векторів і збігаються. Вони обидва спрямовані в позитивну сторону осі обертання Оz (рис. 31, а). Якщо і . то вони спрямовані в протилежні сторони (рис. 32, б). Вектор кутового прискорення збігається за напрямком з вектором кутової швидкості при прискореному обертанні і протилежний йому при уповільненому. Вектори і можна зображувати в будь-яких точках осі обертання.
Векторні формули для швидкостей і прискорень точок тіла
Висловимо швидкість, дотичне, нормальне і повне прискорення точки тіла у векторній формі (рис. 32). Швидкість точки по модулю і напрямку можна уявити векторних твором
де - радіус-вектор точки. проведений з довільної точки осі обертання. наприклад точки. Вираз (75) називається векторною формулою Ейлера.
З визначення прискорення і векторної формули Ейлера маємо:
Перший доданок в (76) є дотичним прискоренням, а друге - нормальним, т. Е.
Складний рух точки
Для вивчення деяких, більш складних видів рухів твердого тіла доцільно розглянути найпростіше складний рух точки. У багатьох задачах рух точки доводиться розглядати щодо двох (і більше) систем відліку, що рухаються одна відносно одної. Так, рух космічного корабля, що рухається до Місяця, потрібно розглядати одночасно і щодо Землі і щодо Місяця, яка рухається відносно Землі. Будь-який рух точки можна вважати складним, що складається з декількох рухів.
У найпростішому випадку складний рух точки складається з відносного і переносного рухів. Визначимо ці рухи. Нехай маємо дві системи відліку, що рухаються одна відносно одної. Якщо одну з цих систем (рис. 33) прийняти за основну або нерухому (її рух щодо інших систем відліку не розглядається), то друга система відліку буде рухатися щодо першої. Рух точки відносно рухомої системи відліку називається відносним. Характеристики цього руху, такі, як траєкторія, швидкість і прискорення, називаються відносними. Їх позначають індексом; для швидкості і прискорення і. Рух точки відносно основної. або нерухомою. системи відліку називається абсолютним (або складним). Його також іноді називають складовим рухом. Траєкторія, швидкість і прискорення цього руху називаються абсолютними. Швидкість і прискорення абсолютного руху позначають буквами і без індексів. Переносним рухом називають рух рухомий системи відліку по відношенню до нерухомої. Внаслідок відносного руху рухається точка в різні моменти часу збігається з різними точками тіла. з яким скріплена рухома система відліку. Переносний швидкістю і переносним прискоренням є швидкість і прискорення тієї точки тіла. з якої в даний момент збігається рухома точка. Переносні швидкість і прискорення позначають і.
Теорема додавання швидкостей: швидкість абсолютного руху точки дорівнює векторній сумі швидкостей переносного і відносного рухів цієї точки
Так як в загальному випадку швидкості переносного і відносного руху не перпендикулярні, то
Абсолютну швидкість можна представити у вигляді:
є швидкістю точки вільного твердого тіла, скріпленого з рухомою системою координат, з якою в даний момент збігається точка в русі тіла відносно нерухомої системи осей координат. Це є переносна швидкість точки.
Теорема додавання прискорень точки (кінематична теорема Коріоліса). абсолютне прискорення точки є векторною сумою трьох прискорень - переносного, відносного і Коріоліса
Прискорення називається прискоренням Коріоліса. Іноді його також називають додатковим (або поворотним) прискоренням.
Абсолютна прискорення можна також представити у вигляді:
У цій формулі перші три доданків складають прискорення точки вільного твердого тіла в загальному випадку його руху разом з рухомою системою осей координат відносно нерухомої. Перший доданок - прискорення точки. і - відповідно обертальний і нормальне прискорення точки. якби вона рухалася тільки разом з рухомою системою осей координат, не маючи в даний момент часу відносного руху.
При координатному способі завдання в декартових координатах
де - координати рухається точки щодо рухомої системи осей координат; - одиничні вектори цих осей. За природного способу завдання руху
де - відстань від початку відліку до точки по траєкторії відносного руху; - радіус кривизни цієї траєкторії. В окремому випадку, коли переносний рух є обертання навколо нерухомої осі, переносне прискорення
де дотичне переносне прискорення
причому - найкоротша відстань від рухомої точки до осі обертання. Нормальне переносне прискорення
Абсолютна прискорення в цьому випадку
Розглянемо прискорення Коріоліса і його властивості. Воно визначається формулою (81)
Кутову швидкість обертальної частини руху рухомої системи відліку, тобто кутову швидкість переносного руху, позначили як.
Прискорення Коріоліса є результатом взаємного впливав-ня двох рухів: переносного і відносного. Частина його виходить внаслідок зміни переносний швидкості точки через відносного руху. Інша його частина, теж. є результат зміни відносної швидкості внаслідок перенесеного руху.
Модуль прискорення Коріоліса відповідно до (81) визначається виразом
Для визначення прискорення Коріоліса дуже зручно правило Жуковського Н. Е. Воно засноване на формулі (81). Нехай маємо точку. рухому з відносною швидкістю. (Рис. 34). Побудуємо площину. перпендикулярну кутової швидкості переносного обертання. і спроеціруем на цю площину. Проекцію позначимо. Вона є вектором; її модуль
Прискорення Коріоліса виразиться в формі
З огляду на (81) і (84 '), отримуємо правило Жуковського: модуль прискорення Коріоліса дорівнює подвоєному добутку кутової швидкості переносного обертання на модуль проекції відносної швидкості на площину, перпендикулярну осі переносного обертання; щоб отримати направлення прискорення Коріоліса, слід вектор проекції відносної швидкості повернути на 90 ° навколо осі, паралельної осі переносного обертання, в напрямку цього обертання.
Розглянемо випадки звернення в нуль прискорення Коріоліса. З (84) випливає, що. якщо:
1). тобто переносний рух є поступальним;
2). тобто в ті моменти часу, в які відбувається зміна напрямку відносного руху;
3). тобто коли швидкість відносного руху паралельна кутової швидкості переносного обертання.