Скаляри і вектори, lcme wiki, fandom powered by wikia

вектор Правити

Поняття вектор в геометрії відмінно від обумовленого в алгебрі. Розрізняють поняття вільного і пов'язаного (закріпленого) вектора.

Пов'язаний вектор або спрямований відрізок - впорядкована пара точок евклідова простору.
Вільний вектор - клас еквівалентності спрямованих відрізків.

При цьому два спрямованих відрізка вважаються еквівалентними, якщо вони:

колінеарні
рівні по довжині
однаково спрямовані (сонаправлени)

Лінійні операції над векторами Правити

Сума векторів Правити

Додавання двох вільних векторів можна здійснювати як за правилом паралелограма, так і за правилом трикутника.

Правило трикутника Правити

Для складання двох векторів і за правилом трикутника обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігався з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною утворився трикутника, причому його початок збігається з початком першого вектора, а кінець з кінцем другого вектора.

Правило паралелограма Правити

Для складання двох векторів і за правилом паралелограма обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб їх початку збігалися. Тоді вектор суми задається діагоналлю побудованого на них паралелограма, що виходить із їх загального початку.

Модуль суми Правити

Модуль (довжину) вектора суми визначають по теоремі косинусів, де - кут між векторами, коли початок одного збігається з кінцем іншого.

Множення вектора на скаляр Правити

Твором вектора і числа називається вектор, модуль якого дорівнює, а напрямок збігається з напрямком вектора, якщо, і протилежно йому, якщо. Якщо ж, або вектор нульової, тоді і тільки тоді твір - нульовий вектор.

Скалярний твір Правити

Скалярним добутком векторів і називають число, що дорівнює, де - кут між векторами і. Позначення: або.

Якщо один з векторів є нульовим, то незважаючи на те, що кут не визначений, добуток дорівнює нулю.

Властивості скалярного добутку векторів:

коммутативность
дистрибутивность
лінійність по відношенню до множення на число

Векторний добуток Правити

Векторним твором вектора на вектор називається вектор, що задовольняє наступним вимогам:

довжина вектора дорівнює добутку довжин векторів і на синус кута між ними
вектор ортогональний кожному з векторів і (простіше кажучи, якщо і перенести так, щоб вони виходили з однієї точки, буде нормальний до площині векторів і)
вектор спрямований так, що трійка векторів є правою

Геометрично векторний добуток є орієнтована площа паралелограма, побудованого на векторах і, представлена псевдовектори, ортогональним цього паралелограма.

Властивості векторного твори:

При перестановці співмножників векторний добуток змінює знак (антикоммутативність)

Скаляр Правити

(Від лат. Scalaris - ступінчастий) - величина (можливо змінна, тобто функція), кожне значення якої може бути виражено одним числом (найчастіше мається на увазі дійсне число).