Системи лінійних рівнянь загального вигляду

Розглянемо систему \ (m \) лінійних алгебраїчних рівнянь з \ (n \) невідомими, \ [a_x_1 + a_x_2 +. + A_x_n = b_1, \ quad \ quad (28) \] \ [a_x_1 + a_x_2 +. + A_x_n = b_2, \ quad \ quad (29) \] \ [. \] \ [A_x_1 + a_x_2 +. + A_x_n = b_m, \ quad \ quad (30) \]

Матрицею коефіцієнтів системи рівнянь назвемо матрицю \ [A = \ left (\ begin a_ a_ a_ \ ldots a_ \\ a_ a_ a_ \ ldots a_ \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ Vdots \\ a_ a_ a_ \ ldots a_ \ end \ right). \] Утворюємо стовпчик правих частин системи \ [B = \ left (\ begin b_1 b_2 \ ldots b_m \ end \ right) ^ T. \]

Визначення. Рішенням системи рівнянь (28) - (30) називають такий набір чисел \ (x_1, x_2. X_n \), який при підстановці в рівняння звертає всі ці рівняння в рівності.

Визначення. Система рівнянь (28) - (30) називається однорідною. якщо стовпець правих частин нульовий. Якщо стовпець \ (B \) ненульовий, система називається неоднорідною.

Взагалі кажучи, система рівнянь (28) - (30) може не мати рішень.

Приклад. Розглянемо систему рівнянь \ [x_1 + x_2 = 1, \] \ [x_1 + x_2 = 2. \]

Очевидно, що вона не має рішень.

Далі, система лінійних рівнянь може мати нескінченно багато рішень.

Приклад. Розглянемо систему рівнянь \ [x_1 + x_2 = 0. \]

Очевидно, що ця система з одного рівняння для двох невідомих має нескінченно багато рішень.

Крім того, як випливає з теореми Крамера, система рівнянь може мати єдине рішення. Таким чином, слід розвинути теорію, що дозволяє з'ясувати в загальних термінах, коли система несумісна, коли вона має рішення і скільки рішень вона має, і уявити апарат, що дозволяє побудувати ці рішення.

Метод Гаусса дозволяє в рамках єдиного підходу побудувати рішення довільній системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Вихідним є побудова розширеної матриці, яка виходить так: до матриці коефіцієнтів системи \ (A \) додають справа стовпець правих частин \ (B \). При цьому мається природне взаємно-однозначна відповідність: кожному рядку розширеної матриці відповідає рівняння системи.

Метод Гаусса спирається на наступні прості міркування: існують перетворення системи рівнянь, які не змінюють набору рішень системи. Перерахуємо ці перетворення із зазначенням того, як вони впливають на розширену матрицю.

1. Перестановка рівнянь (перестановка рядків розширеної матриці).

2. Множення рівняння на нульове число (множення рядка розширеної матриці на нульове число).

3. Вирахування з одного рівняння іншого, помноженого на довільне число (віднімання з рядка розширеної матриці іншого рядка, помноженої на довільне число).

4. Перестановка двох невідомих (з урахуванням необхідності зворотного заміни змінних) (перестановка стовпців розширеної матриці).

Наведемо тепер процедуру вирішення системи лінійних рівнянь за допомогою методу Гаусса. Вона включає 2 етапи: прямий і зворотний.

1. Прямий хід методу Гаусса. Випишемо розширену матрицю системи рівнянь, \ [A = \ left (\ begin a_ a_ a_ \ ldots a_ b_1 \\ a_ a_ a_ \ ldots a_ b_2 \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ Vdots \\ a_ a_ a_ \ ldots a_ b_m \ end \ right). \] І знайдемо серед чисел \ (a_ \) число, відмінне від 0. Перестановкою рядків і стовпців перемістимо це число в позицію \ ((1,1) \), \ [A \ mapsto \ left (\ begin a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \ end \ right). \] Потім з другої, третьої і наступних рядків віднімаємо першу з відповідним множником, так, щоб під числом \ (a ^ \) з'явилися нульові елементи, \ [A \ mapsto \ left (\ begin a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \ end \ right). \] Потім в частині матриці, що не включає перший рядок і останній стовпець, знову шукаємо ненульовий елемент \ (a ^ \) і, переставляючи рядки і стовпці, поміщаємо його на позицію \ ((2,2) \), \ [A \ mapsto \ left (\ begin a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \ end \ right). \] Віднімаючи другий рядок з усіх наступних з відповідними множниками, отримуємо 0 у всіх елементах, що стоять під \ (a ^ \), \ [A \ mapsto \ left (\ begin a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ 0 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \ end \ right). \] Потім в частині матриці, що не включає першу і другу рядки і останній стовпець, знову шукаємо ненульовий елемент \ (a ^ \) і, переставляючи рядки і стовпці, поміщаємо його на позицію \ ((3,3) \) і т. д. Продовжуючи нашу процедуру, ми перетворимо вихідну матрицю до матриці, що має "трапецієвидну" форму: на головній діагоналі у такої матриці стоять ненульові елементи, а під головною діагоналлю - нулі. Наша процедура зупиниться, коли 1) ми дійдемо до "дна" матриці, або 2) буде неможливо знайти ненульовий елемент серед решти рядків, тобто залишилися рядки містять лише нулі (за можливим винятком останнього стовпчика!). На цьому прямий хід методу Гаусса закінчується. Його результатом є перетворена матриця.

2. Зворотний хід методу Гаусса. Розглянемо уважно побудовану на попередньому кроці матрицю. Як зазначалося вище, кожен рядок побудованої матриці представляє рівняння, яке однозначно по ній відновлюється. Таким чином, слід вирішити систему рівнянь, відповідну матриці, побудованої в результаті прямого ходу методу Гаусса. Можливі такі ситуації.

а) Вона містить рядки, що складаються з нулів, за винятком елементів останнього шпальти, які не рівні нулю, \ [A \ mapsto \ left (\ begin a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ 0 0 0 \ ldots 0 b ^ * \ end \ right). \] \ (B ^ * \ neq 0 \). Як згадувалося вище, кожна така рядок матриці відповідає рівняння, в даному випадку - рівняння з нульовими коефіцієнтами, в правій частині якого стоїть не нуль. Таким чином, в цьому випадку вихідна система рівнянь несумісна.

б) Підсумкова матриця містить повністю нульові рядки. Такі рядки відповідають тривіального рівняння \ (0 = 0 \), їх можна викреслити. Далі, \ (r \), число ненульових елементів на головній діагоналі одно рангу матриці коефіцієнтів вихідної системи рівнянь. При цьому можливі 2 ситуації:

б1) \ (r = n \) - ранг матриці дорівнює числу невідомих. Це ситуація теореми Крамера, коли існує тільки одне рішення системи рівнянь. За побудованої матриці відновлюють систему рівнянь, яку вирішують знизу вгору. При цьому на кожному кроці рівняння тривіально.