Системи лінійних нерівностей і опуклі безлічі точок

Нерівність - це два числа або математичних вираження, з'єднаних одним із знаків:> (більше, в разі строгих нерівностей), <(меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

Нерівність є лінійним при тих же умовах, що і рівняння: воно містить змінні тільки в першого ступеня і не містить творів змінних.

Рішення лінійних нерівностей і систем лінійних нерівностей нерозривно пов'язане з їх геометричним змістом: рішенням лінійного нерівності є деяка напівплощина, на які всю площину ділить пряма, рівнянням якої задано лінійне нерівність. Цю напівплощина, а в разі системи лінійних нерівностей - частина площини, обмежену кількома прямими, потрібно знайти на кресленні.

До вирішення систем лінійних нерівностей з великим числом змінних зводяться багато економічні завдання, зокрема, завдання лінійного програмування. в яких потрібно знайти максимум або мінімум функції.

Спочатку розберемо лінійні нерівності на площині. Розглянемо одне нерівність з двома змінними та:

де - коефіцієнти при змінних (деякі числа), - вільний член (також деяке число).

Одне нерівність з двома невідомими, так само як і рівняння, має незліченну безліч рішень. Рішенням даної нерівності назвемо пару чисел, що задовольняють цьому нерівності. Геометрично безліч рішень нерівності зображується у вигляді півплощині, обмеженою прямий

яку назвемо граничній прямій.

Крок 1. Побудувати пряму, що обмежує безліч рішень лінійного нерівності

Для цього треба знати будь-які дві точки цієї прямої. Знайдемо точки перетину з осями координат. Ордината точки перетину A дорівнює нулю (рисунок 1). Числові значення на осях на цьому малюнку відносяться до прикладу 1, який розберемо відразу після цього теретичної екскурсу.

Абсциссу знайдемо, вирішуючи як систему рівняння прямої з рівнянням осі.

Знайдемо перетин з віссю: