Симетрія прямокутника, трикутники

Яка симетрія прямокутника? Чи є у прямокутника вісь симетрії і центр симетрії?

Прямокутник має дві осі симетрії.

Осями симетрії прямокутника є прямі, що проходять через точку перетину діагоналей паралельно сторонам.

Нехай O - точка перетину діагоналей прямокутника ABCD, K і F - точки перетину прямої, що проходить через точку O паралельно стороні AB, зі сторонами AD і BC. тоді

Прямокутні трикутники AOK і DOK рівні за катетом і гіпотенузи (OK- загальний катет, OA = OD по властивості діагоналей паралелограма). Отже, AK = DK, тобто пряма FK проходить через середину сторони AD.

Відзначимо на стороні AB довільну точку X. Проведемо пряму через точку X пряму, перпендикулярну прямий FK. Точки перетину цієї прямої з прямими FK і CD позначимо через P і X1.

Чотирикутники AXPK і KPX1D - прямокутники (так як у них все кути прямі). Отже, XP = AK, PX1 = KD. А так як AK = DK, то і XP = PX1. Значить, X1 - точка, симетрична точці X відносно прямої FK.

Маємо: точка, симетрична відносно прямої FK довільній точці прямокутника, також належить прямокутнику.

Точки F і K симетричні самі собі відносно прямої FK.

Таким чином, FK - вісь симетрії прямокутника.

Аналогічно доводиться, що пряма, що проходить через точку O паралельно AD є віссю симетрії ABCD.

Що й потрібно було довести .

Прямокутник - центрально симетрична фігура.

Центром симетрії паралелограма є точка перетину його діагоналей.

Так як паралелограм - центрально-симетрична фігура з центром симетрії в точці перетину діагоналей, то це вірно і для окремого випадку паралелограма - прямокутника.