Симетрії на площині і в просторі, математика, рішення онлайн!

Центральна симетрія з центром в точці C (a, b) описується рівняннями або, що те ж саме,.

Наприклад, якщо центр симетрії знаходиться в точці C (1,2), то симетричною точці А (2, 3) буде точка А '(0,1), так як.

Декартові рівняння. описують осьову симетрію. більш складні, так як віссю симетрії може бути будь-яка пряма на площині, і щоб описати її, потрібно вдатися до тригонометричним функціям. Існують, однак, три простих випадку.

Осьова симетрія відносно осі ОХ

Таким чином, щоб знайти точку, симетричну заданої, досить залишити незмінною першу координату і поміняти знак у другій. Наприклад, точкою, симетричною точці A (3, -2), буде точка А '(3,2).

Симетрія відносно осі OY

В цьому випадку для знаходження симетричною точки потрібно поміняти знак першої координати і залишити незмінною другу. Наприклад, точкою, симетричною точці А (-3, 9) щодо осі ОУ, є точка А '(3,9).

Симетрія відносно бісектриси y = x

Таким чином, досить тільки поміняти значення координат місцями. Тобто точкою, симетричною точк з А (5,1), буде точка А '(1,5).

Симетрії в просторі

У просторі також існують центральна і осьова симетрії (щодо точки або прямої), що визначаються приблизно так само, як і на площині, але з трьома координатами замість двох. Безумовно, існує ще й третя можливість - симетрія відносно площини, так звана дзеркальна симетрія. Будується вона в такий спосіб. Припустимо, що Р - площину симетрії (симетрія в такому випадку зазвичай позначається символом). Щоб знайти перетворення точки А, проводиться перпендикуляр до площини, що проходить через дану точку. Точкою, симетричною заданої, буде точка А 'знаходиться на цьому перпендикуляре і віддалена від площини Р на таку ж відстань, що і точка А.

Інваріантні елементи дзеркальної симетрії:

1. всі точки на площині Р;
2. прямі, перпендикулярні Р (але не точки цих прямих);
3. площині, перпендикулярні Р (теж площині в цілому, але не елементи, їх складові).

Дзеркальна симетрія не тільки є інволютивних перетворенням, а й має наступні властивості:

1. зберігає відстані між точками;
2. переводить прямі в прямі;
3. переводить площині в площині.

Поділитися з друзями: