Швидкість матеріальної точки
За однакові проміжки часу тіло може проходити різний шлях. Для характеристики руху вводиться фізична величина - швидкість. визначальна швидкість руху і його напрямок в даний момент часу.
Мал. 1. Переміщення і швидкість матеріальної точки
Розглянемо рух матеріальної точки з моменту часу t1 з точки M до моменту часу t2 в точку N по криволінійній траєкторії MN (рисунок 1). Минулий проміжок часу позначимо δt = t2 - t1. а пройдений шлях (довжина кривої MN) через δs. Радіус-вектори точок M і N рівні r1 і r2. відповідно, а приріст радіус-вектора одно δr = r2 - r1.
Вектором середньої швидкості vср точки на розглянутому інтервалі часу від t1 до t2 називається називається відношення приросту радіус-вектора δr до збільшенню часу δt.
Напрямок вектора середньої швидкості vср збігається з напрямком збільшення радіус-вектора матеріальної точки δr (уздовж хорди MN). Якщо зменшувати проміжок часу, то точка N буде наближатися до точки M і в межі, якщо спрямувати δt до нуля, то отримаємо значення миттєвої швидкості (або просто швидкості) v матеріальної точки в момент часу t при проходженні через точку M траєкторії руху. Значення швидкості з використанням визначення похідної обчислюється таким чином:
При цьому, напрямок вектора швидкості (і диференціала збільшення dr) буде збігатися з дотичній до траєкторії в точці M.
Зі зменшенням довжини дуги MN її значення наближається до довжини хорди MN. тобто приріст траєкторії δs прагне до модулю збільшення радіус-вектора δr. У межі δt → 0:
Отже величина швидкості v одно похідною від довжини шляху по часу:
Довжина шляху пройденого точкою за час від t до t + δ t одно:
Якщо приріст радіус-вектора в декартовій системі координат має координати (x. Y. Z) або в запису через орти:
то диференціюючи за часом отримаємо вираз швидкості в декартовій системі координат:
де компоненти швидкості (проекції на осі координат) рівні:
Величина швидкості через її компоненти обчислюється за формулою
При прямолінійному русі напрямок вектора швидкості не змінюється і траєкторія руху являє собою пряму лінію, а приріст шляху дорівнює модулю збільшення вектора переміщення δs = | δr |. Якщо при цьому залишається незмінною величина швидкості, то рух називається рівномірним. Підставляючи v в формулу для обчислення шляху і беручи до уваги, що константу можна винести за знак інтеграла отримаємо:
Це залежність являє собою лінійну функцію δs залежить від δt з коефіцієнтом пропорційності v. По властивості лінійної функції. за довільні рівні проміжки часу точка проходить однаковий шлях.
Якщо напрямок вектора швидкості змінюється, то рух називається криволінійним. При цьому, приріст швидкості не дорівнює модулю збільшення вектора переміщення δs ≠ | δ r |.
Якщо точка бере участь в декількох рухах, то закон незалежних переміщень можна розширити і для швидкостей: швидкість v результуючого руху буде дорівнює векторній сумі швидкостей v1. ..., vn кожного руху окремо (закон складання швидкостей).
Зауваження. Загалом, швидкість може мати як позитивний, так і негативне значення. Якщо є виділений напрям траєкторії, яке можна вважати позитивним, то при русі в позитивному напрямку швидкість буде позитивною, а при русі в зворотному напрямку - негативною. Тому, в формулах виду v = | v | величина швидкості є абсолютною (позитивної), але якщо приріст шляху негативно, то і справжня величина швидкості також буде негативною. Якщо виділеного напрямку немає, то розглядають знак компонентів швидкості збігаються зі знаком проекцій вектора швидкості на осі координат.
В системі СІ одиницею вимірювання швидкості є метр в секунду (м / с).
Використана література:- А.А. Детлаф, Б.М. Яворський, Л.Б. Мілковская. Курс фізики. М. Вища школа. 1 973.