Середнє значення функції

Цей термін має також інші значення див. Середнє значення.

Середнє значення функції - це деяке число, укладену між найменшим і найбільшим її значеннями. У диференціальному і інтегральному численні є ряд «теорем про повну загальну середню», що встановлюють існування таких точок, в яких функція або її похідна отримує те чи інше середнє значення. Найбільш важливою теоремою про середнє значення функції в диференціальному численні є теорема Лагранжа (теорема про кінцевий збільшенні): якщо f (x) неперервна на відрізку [a. b] і диференційована в інтервалі (a. b). то існує точка c. що належить інтервалу (a. b). така, що f (b) - f (a) = (b - a) f '(c). В інтегральному численні найбільш важливою теоремою про середнє значення є наступна: якщо f (x) неперервна на відрізку [a. b]. а φ (x) зберігає постійний знак, то існує точка c з інтервалу (a. b) така, що

∫ a b f (x) φ (x) d x = f (c) ∫ a b φ (x) d x. f (x) \ varphi (x) dx = f (c) \ int \ limits _ ^ \ varphi (x) dx.>

Внаслідок цього під середнім значенням функції f (x) на відрізку [a. b] зазвичай розуміють величину

Аналогічно визначається середнє значення функції кількох змінних в деякій області.