Рішення поліноміальних і раціональних нерівностей

Рішення поліноміальних і раціональних нерівностей.

Ми будемо використовувати комбінацію алгебраїчних і графічних методи для вирішення поліноміальних і раціональних нерівностей.

поліноміальні нерівності

Як квадратне рівняння може бути записано в формі аx 2 + bx + c = 0, квадратне нерівність може бути записано в формі ax 2 + bx + c. 0, де. можеть бути. ≤, або ≥. Ось кілька прикладів квадратних нерівностей:
3x 2 - 2x - 5> 0, (-1/2) x 2 + 4x -7 ≤ 0.
Квадратні нерівності є одним видом поліноміальних нерівностей. Інші приклади поліноміальних нерівностей:
-2x 4 + x 2 - 3 3 - 2x 2> 5x + 7.
Коли символ нерівності в поліноміальному нерівності замінюється знаком рівності, формується пов'язане рівняння. Поліноміальні нерівність може бути легко вирішено, після того як вирішено пов'язане рівняння.

ПРИКЛАД 1 Вирішіть: x 3 - x> 0.
Рішення Нас просять знайти всі значення x, для яких x 3 - x> 0. Щоб локалізувати ці значення, ми малюємо функцію f (x) = x 3 -x. Тоді ми помічаємо, що коли функція змінює знак, її графік перетинає вісь абсцис. Так, щоб вирішити x 3 - x> 0, ми спочатку вирішуємо пов'язане рівняння x 3 - x = 0 щоб знайти всі нулі функції:
x 3 - x = 0
x (x 2 - 1) = 0
x (x + 1) (x - 1) = 0.

Нулі є -1, 0, і 1. Так, точки перетину з віссю х є (-1, 0), (0,0) і (1, 0), як показано на малюнку внизу. Нулі ділять вісь х на чотири інтервалу:

Для всіх значень х всередині заданого інтервалу знак x 3 - x повинен бути позитивним або негативним. Але щоб визначити який, ми вибираємо тестове значення для x з кожного інтервалу і знаходимо f (x). Ми можемо визначити знак f (x) в кожному інтервалі дивлячись на графік функції.

Так як ми вирішуємо x 3 - x> 0, в безліч рішень входять тільки два з чотирьох інтервалів, в яких знак f (x) позитивний. Ми бачимо, що мнежество рішень є (-1, 0) (1, ∞), або.

Щоб вирішити поліноміальний нерівність:
1. Знайдіть еквівалентну нерівність з 0 на одній стороні.
2. Вирішіть пов'язане поліноміальний рівняння.
3. Використовуйте рішення, щоб розділити вісь x на інтервали. Тоді виберіть тестове значення з кожного інтервалу і визначте знак полінома на кожному інтервалі.
4. Визначте інтервали, для яких нерівність є вірним і запишіть позначення інтервалу або безліч рішень. Увімкніть кінцеві точки інтервалів в безліч рішень якщо знак нерівності є ≤ або ≥.

ПРИКЛАД 2 Вирішіть: 3x 4 + 10x ≤ 11x 3 + 4.
Рішення Шляхом вирахування 11x 3 + 4, ми формуємо еквівалентну нерівність 3x 4 - 11x 3 + 10x - 4 ≤ 0.

Алгебраїчне рішення 4 - 11x 3 + 10x - 4 = 0,
. Рішення
-1, 2 - √ 2. 2/3, і 2 + √ 2,
або приблизно
-1, 0.586, 0.667, and 3.414.
Ці числа ділять вісь х на п'ять інтервалів:
(-∞, -1), (-1, 2 - √ 2), (2 - √ 2. 2/3), (2/3, 2 + √ 2), і (2 + √ 2. ∞).

Тоді f (x) = 3x 4 - 11x 3 + 10x - 4 і і, використовуючи тестові значення для f (x), визначаємо знак f (x) в кожному інтервалі:

Значення функції негативні в інтервалах (-1, 2 - √ 2) і (2/3, 2 + √ 2). Так як знак нерівності є ≤, ми включаємо кінцеві точки інтервалів в безліч рішень. Безліч рішень є
[-1, 2 - √ 2] [2/3, 2 + √ 2], або.

Намалюємо функцію y = 3x 4 - 11x 3 + 10x - 4.

Ми бачимо, що два нуля є в точках 1 і приблизно 3.414 (2 + √ 2 ≈ 3.414). Наступні нулі лежать в інтервалі [0, 1]. ці нулі в точках (приблизно) 0.586 і 0.667 (2 - √ 2 ≈ 0.586; 2/3 ≈ 0.667).

Тоді інтервали для розгляду: (-∞, -1), (-1, 0.586), (0.586, 0.667), (0.667, 3.414) і (3.414, ∞). Відзначаємо на графіку, де функція є негативною. Потім, включаючи відповідні кінцеві точки отримуємо, що безліч рішень становить приблизно
[-1, 0.586] [0.667, 3.414] або.

раціональні нерівності

Деякі нерівності включають в себе раціональні вирази і функції. Такі нерівності називаються раціональними нерівностями. Для їх вирішення ми повинні внести кілька коригувань в попередній метод.

ПРИКЛАД 3 Вирішіть: (x - 3) / (x + 4) ≥ (x + 2) / (x - 5).
Рішення По-перше ми віднімаємо (x + 2) / (x - 5) щоб отримати еквівалентну нерівність з 0 на одній стороні:
(X - 3) / (x + 4) - (x + 2) / (x - 5) ≥ 0.

Ми шукаємо всі значення x, для яких функція
f (x) = (x - 3) / (x + 4) - (x + 2) / (x - 5)
не визначена або дорівнює 0. Такі значення називаються критичними.
Подивившись на знаменник, ми побачимо, що вона не визначена для x = -4 і x = 5. Далі, ми вирішуємо f (x) = 0:
(X - 3) / (x + 4) - (x + 2) / (x - 5) = 0.
(X + 4) (x - 5) [(x - 3) / (x + 4) - (x + 2) / (x - 5)] = (x + 4) (x - 5) .0
(X - 5) (x - 3) - (x + 4) (x + 2) = 0
(X 2 - 8x + 15) - (x 2 + 6x + 8) = 0
-14x + 7 = 0
x = 1/2.
Критичні значення: -4, 1/2 і 5. Вони ділять вісь x на чотири інтервалу:
(-∞, -4), (-4, 1/2), (1/2, 5), і (5, ∞).

Тоді ми використовуємо тестове значення, щоб визначити знак f (x) на кожному інтервалі.


Значення функції позитивні в інтервалах (- ∞, -4) і (1/2, 5). Так як f (1/2) = 0 і і знак нерівності є ≥, ми знаємо, що 1/2 повинно бути в безлічі рішень. Зверніть увагу, що ні -4 ні 5 не належать до безлічі f, і тому вони не можуть бути частиною безлічі рішення.
Безліч рішення є (-∞ -4) [1/2, 5).

намалюємо
y = (x - 3) / (x + 4) - (x + 2) / (x - 5).

Знаходимо, що в точці 0.5 функція дорівнює 0.
Потім ми шукаємо значення, де функція не визначена. Поглянувши на знаменники x + 4 і x - 5, ми бачимо, що функції не визначені для x = -4 і x = 5
Критичні значення. де y не визначене або 0, є -4, 0.5 і 5.
Графік показує, де y позитивне і де негативне. Зверніть увагу, що -4 і 5 не можуть бути у великій кількості рішень, так як y не визначене для цих значень. Однак, ми включаємо 0.5, так як знак нерівності є ≥ і f (0.5) = 0. Безліч рішень є
(-∞, -4) [0.5, 5).

Нижче - метод для вирішення раціональні нерівності.

Для вирішення раціональних нерівностей необхідно:
1. Знайти еквівалентну нерівність з 0 на одній стороні.
2. Змінити знак нерівності символ на знак рівності і вирішите пов'язане рівняння. 3. Знайти значення змінних, для яких пов'язана раціональна функція не визначена. 4. Числа з кроків (2) і (3) називаються критичними значеннями. Використовуйте критичні значення, щоб розділити осі абсцис на інтервали. Тоді використовуйте тестове значення х з кожного інтервалу, щоб визначити знак функції в цьому інтервалі. 5. Вибрати інтервали, для яких нерівність задовольняється і запишіть значення інтервалу. Якщо знаком нерівності є ≤ або ≥, тоді рішення в кроці (2) повинні бути включені в безліч рішень. Значення x, знайдені в кроці (3), ніколи не включаються в безліч рішень.

Це добре працює з використанням комбінації алгебраїчних і графічних методів вирішення поліноміальних і раціональних нерівностей. Алгебраїчні методи дають точні цифри для критичних значень, а графічні методи дозволяють легко побачити, які інтервали задовольняють нерівності.