реферат визначники

В.Є. Шнейдер та ін. Короткий курс вищої математики, том I, гл. 2, п.1.

В.С. Щипачов, Вища математика, гл.10, п.2.

На лекції розглядаються визначники другого і третього порядків, їх властивості. А також теорема Крамера, що дозволяє вирішувати системи лінійних рівнянь за допомогою визначників. Визначники використовуються також в подальшому в темі "Векторна алгебра" при обчисленні векторного добутку векторів.

1-ий навчальний питання визначник ДРУГОГО І ТРЕТЬОГО

Розглянемо таблицю з чотирьох чисел виду

Числа в таблиці позначені літерою з двома індексами. Перший індекс вказує номер рядка, другий - номер стовпця.

ВИЗНАЧЕННЯ 1.Определітелем другого порядку називають вираз виду:

Числа а11, ..., а22 називають е л е м е т а м і визначника.

Діагональ, утворена елементами А11; а22 називається г л а в н ой, а діагональ, утворена елементами А12; а21 - п о б о ч н ий.

Таким чином, визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів головної та побічної діагоналей.

Зауважимо, що у відповіді виходить число.

Розглянемо тепер таблицю з дев'яти чисел, записаних в три рядки і три стовпці:

ВИЗНАЧЕННЯ 2.Определітелем третього порядку називається вираз виду:

Елементи А11; а22; А33 - утворюють головну діагональ.

Числа а13; а22; а31 - утворюють побічну діагональ.

Зобразимо, схематично, як утворюються складові з плюсом і з мінусом:

"+" "-"

З плюсом входять: твір елементів на головній діагоналі, інші два доданків є твором елементів, розташованих у вершинах трикутників з підставами, паралельними головній діагоналі.

Складові з мінусом утворюються за тією ж схемою щодо побічної діагоналі.

Це правило обчислення визначника третього порядку називають

п р а в і л о м т р е у г о л ь н і к о в.

Приклади. Обчислити за правилом трикутників:

ЗАУВАЖЕННЯ. Визначники називають також д е т е р м і н а н т а м і.

2-ий навчальний питання властивості визначник.

Наведені далі властивості виконуються для визначників будь-якого порядку. Всі вони можуть бути доведені безпосередньою перевіркою, заснованої на правилах обчислення визначників.

Властивість 1. Величина визначника не зміниться, якщо його рядки поміняти місцями з відповідними стовпцями.

Розкриваючи обидва визначника, переконуємося в справедливості рівності.

Властивість 1 встановлює рівноправність рядків і стовпців визначника. Тому всі подальші властивості визначника будемо формулювати і для рядків і для стовпців.

Властивість 2. При перестановці двох рядків (або стовпчиків) визначник змінює знак на протилежний, зберігаючи абсолютну величину.

Властивість 3. Загальний множник елементів рядка (або стовпця) можна виносити за знак визначника.

Властивість 4. Якщо визначник має два однакові рядки (чи шпальти), то він дорівнює нулю.

Це властивість можна довести безпосередньою перевіркою, а можна використовувати властивість 2.

Позначимо визначник за D. При перестановці двох однакових першої та другої рядків він не зміниться, а по другому властивості він повинен поміняти знак, тобто

D = - D Ю 2 D = 0 Ю D = 0.

Властивість 5. Якщо всі елементи якоїсь рядки (чи шпальти) дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

Це властивість можна розглядати як окремий випадок властивості 3 при

Властивість 6. Якщо елементи двох рядків (або стовпчиків) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Можна довести безпосередньою перевіркою або з використанням властивостей 3 і 4.

Властивість 7. Величина визначника не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (або стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на одне і те ж число.

Доводиться безпосередньою перевіркою.

Застосування зазначених властивостей може в ряді випадків полегшити процес обчислення визначників, особливо третього порядку.

Для подальшого нам знадобиться поняття мінору і алгебраїчного доповнення. Розглянемо ці поняття для визначення третього порядку.

ВИЗНАЧЕННЯ 3.Мінором даного елемента визначника третього порядку називається визначник другого порядку, отриманий з даного викреслюванням рядка і стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Мінор елемента аi j позначається Мi j. Так для елемента а11 мінор

Він виходить, якщо у визначнику третього порядку викреслити перший рядок і перший стовпець.

ВИЗНАЧЕННЯ 4.Алгебраіческім доповненням елемента визначника називають його мінор, помножений на (-1) k. де k - сума номерів рядка і стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Алгебраїчне доповнення елемента а i j позначається Аi j.

Таким чином, Аi j =.

Випишемо алгебраїчні доповнення для елементів а11 і а12.

Корисно запам'ятати правило: алгебраїчне доповнення елемента визначника одно його мінору зі знаком плюс, якщо сума номерів рядка і стовпця, в яких варто елемент, парна, і зі знаком мінус, якщо ця сума непарна.

ПРИКЛАД. Знайти мінори та алгебраїчні доповнення для елементів першого рядка визначника:

Ясно, що мінори та алгебраїчні доповнення можуть відрізнятися тільки знаком.

Розглянемо без доказу важливу теорему - теорему розкладання визначника.

Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення.

Використовуючи цю теорему, запишемо розкладання визначника третього порядку по першому рядку.

У розгорнутому вигляді:

Останню формулу можна використовувати як основну при обчисленні визначника третього порядку.

Теорема розкладання дозволяє звести обчислення визначника третього порядку до обчислення трьох визначників другого порядку.

Рекомендується розкладати визначник за тією рядку або стовпцю, де є нулі, тому що для нульових елементів не потрібно шукати алгебраїчні доповнення.

Теорема розкладання дає другий спосіб обчислення визначників третього порядку.

Приклади. Обчислити визначник, використовуючи теорему розкладання.

використовували розкладання по другому рядку.

Теорема розкладання дозволяє також обчислювати визначники більш високого порядку, зводячи їх до обчислення декількох визначників третього або другого порядку.

Так, визначник четвертого порядку можна звести до обчислення чотирьох визначників третього порядку.

3-ий навчальний питання ТЕОРЕМА Крамера

Застосуємо розглянуту теорію визначників до вирішення систем лінійних рівнянь.

Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими.

Тут х1, х2 - невідомі;

А11, ..., а22 - коефіцієнти при невідомих, занумерованих двома індексами, де перший індекс означає номер рівняння, а другий індекс - номер невідомого.

b1, b2 - вільні члени.

Нагадаємо, що під рішенням системи (3) розуміється пара значень х1, х2, які при підстановці в обидва рівняння звертають їх у вірні рівності.

У разі, коли система має єдине рішення, це рішення можна знайти за допомогою визначників другого порядку.

ВИЗНАЧЕННЯ 5. Визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи.

Позначимо визначник системи D.

У стовпчиках визначника D стоять коефіцієнти відповідно при х1 і при, х2.

Введемо два д о п о л н і т е л ь н и х о б о р о д е л і т е л я. які виходять з визначника системи заміною одного зі стовпців стовпцем вільних членів:

Розглянемо без доказу наступну теорему:

ТЕОРЕМА Крамера (для випадку n = 2)

Якщо визначник D системи (3) відмінний від нуля (D № 0), то система має єдине рішення, яке знаходиться за формулами:

Формули (4) називаються формулами Крамера.

ПРИКЛАД. Вирішити систему за правилом Крамера.

Відповідь: х1 = 3; х2 = -1

2. Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

У разі однозначної відповіді систему (5) можна вирішити за допомогою визначників третього порядку.

Визначник системи D має вигляд:

Введемо три додаткових визначника:

Аналогічно формулюється теорема.

ТЕОРЕМА Крамера (для випадку n = 3)

Якщо визначник D системи (5) відмінний від нуля, то система має єдине рішення, яке знаходиться за формулами:

Формули (6) - це формули Крамера.

ЗАУВАЖЕННЯ. Г. Крамер (1704 - 1752) - швейцарський математик.

Зауважимо, що теорема Крамера застосовна, коли число рівнянь дорівнює числу невідомих і коли визначник системи D відмінний від нуля.

Відзначимо тільки один випадок:

Якщо визначник системи дорівнює нулю (D = 0), а хоча б один з додаткових визначників відмінний від нуля, то система рішень не має (тобто є несумісною).

Теорему Крамера можна узагальнювати для системи n лінійних рівнянь з n невідомими.

Якщо, то єдине рішення системи знаходиться по

Додатковий визначник виходить з визначника D, якщо в ньому стовпець коефіцієнтів при невідомому

xi замінити стовпцем вільних членів.

Зауважимо, що визначники D, D1, .... Dn мають порядок n.