Прямокутна декартова система координат в просторі

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Упорядкована система трьох взаємно перпендикулярних осей із загальним початком відліку (початком координат) і загальної одиницею довжини називається прямокутної декартової системою координат в просторі.

У цій впорядкованій системі координатних осей 0xyz вісь Ox називається віссю абсцис. вісь 0y - віссю ординат. і вісь 0z - віссю аплікат.

З довільної точкою М простору зв'яжемо вектор

званий радіус-вектором точки М і спроеціруем його на кожну з координатних осей. Позначимо величини відповідних проекцій:

Числа x, y, z називаються координатами точки М. відповідно абсцисою, ординатою і аплікатою. і записуються у вигляді впорядкованої точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).

Вектор одиничної довжини, напрямок якого збігається з напрямком осі, називають одиничним вектором (або ортом) осі. позначимо через

Відповідно орти координатних осей Ox. Oy. Oz

Теорема. Всякий вектор може бути розкладений по ортам координатних осей:

Рівність (2) називається розкладанням вектора по координатним осях. Коефіцієнтами цього розкладання є проекції вектора на координатні осі. Таким чином, коефіцієнтами розкладання (2) вектора по координатним осях є координати вектора.

Після вибору в просторі певної системи координат вектор і трійка його координат однозначно визначають один одного, тому вектор може бути записаний у формі

Уявлення вектора у вигляді (2) і (3) тотожні.

Умова коллинеарности векторів в координатах

Як ми вже відзначали, вектори називаються колінеарними, якщо вони пов'язані ставленням

Нехай дано вектори. Ці вектори колінеарні, якщо координати векторів пов'язані ставленням

тобто, координати векторів пропорційні.

Приклад 4. Дано вектори. Колінеарні ці вектори?

Рішення. З'ясуємо співвідношення координат даних векторів:

Координати векторів пропорційні, отже, вектори колінеарні, або, що те ж саме, паралельні.

Внаслідок взаємної перпендикулярності координатних осей довжина вектора

дорівнює довжині діагоналі прямокутного паралелепіпеда, побудованого на векторах

і виражається рівністю

Вектор повністю визначається завданням двох точок (початку і кінця), тому координати вектора можна виразити через координати цих точок.

Нехай в заданій системі координат початок вектора знаходиться в точці

а кінець - у точці