пов’язаний оператор

2) Доведемо тепер зворотне включення:

- набір таких, що якщо, то.

Треба показати, що, тобто перевірити, що.

Якщо знайдемо, заданий на, то зможемо продовжити його на все по теоремі Хана-Банаха.

Розглянемо довільне, нехай і.

Тоді, тобто,, і, тобто, значення функціоналу не залежить від того, який саме (при) був обраний.

Тоді можна взяти, де - лінійний функціонал,. Залишилося перевірити обмеженість на.

- біекція, - замкнуто, - Банахів, тому - також Банахів як підпростір в. Введемо норму для як.

Покажемо, що - обмежений:. Для цього перейдемо від класів еквівалентності до їх представникам. Так як, знайдеться, такий, що (за визначенням інфімум), візьмемо його в якості представника (ми можемо це зробити, так як значення одне і теж для будь-якого). Тоді:, так як був обмежений, теж виявиться обмеженим.

Тоді по теоремі Банаха про гомеоморфізм існує лінійний обмежений оператор,. Зауваження: суворе нерівність нам потрібно для того, щоб забезпечити існування такого, що.

, тобто, отримали обмеженість, теорема доведена.

Ці дві теореми є найбільш загальною формою записи умов розв'язання операторних рівнянь.

Сенс: розглянемо рівняння, де - дано. Для того, щоб зрозуміти, вирішується чи рівняння, потрібно перевірити, що. У загальному випадку, не існує способу це зробити, але можна обмежитися перевіркою, і тоді, пов'язаний оператор можна побудувати, ядро ​​піддається конструктивному опису:.

Наприклад,,. ,, - дано. Треба дивитися, тобто.

У наступних параграфах ми введемо клас нескінченновимірних операторів, для яких - замкнуто, зокрема, в цей клас входять інтегральні оператори.