Поняття неявної функції

Якщо функція задана рівнянням у = ƒ (х), дозволеним щодо у, то функція задана в явному вигляді (явна функція).

Під неявним завданням функції розуміють завдання функції у вигляді рівняння F (x; y) = 0, не дозволеного щодо у.

Будь-яку явно задану функцію у = ƒ (х) можна записати як неявно задану рівнянням ƒ (х) -у = 0, але не навпаки.

Не завжди легко, а іноді і неможливо вирішити рівняння відносно у (наприклад, у 2 х cosy-1 = 0 або 2 у -х + у = 0).

Якщо неявна функція задана рівнянням F (x; y) = 0, то для знаходження похідної від у по х немає необхідності вирішувати рівняння відносно у: досить продифференцировать це рівняння по x, розглядаючи при цьому у як функцію х, і отримане потім рівняння дозволити щодо у '.

Похідна неявної функції виражається через аргумент х і функцію у.

Теорема існування та диференційованої функції, заданої неявно

Нехай функція F (x, y) задовольняє умовам

приватні похідні F 'x іF' y безперервні в деякій околиці точки (x 0, y 0);

рівняння F (x, y) = 0 визначає неявно в деякій околиці точкіx 0 єдину безперервну функціюy (x). задовольняє условіюy (x 0) = y 0.

функція y (x) має похідну, безперервну в околиці точкіx 0.

З'ясуємо зміст умов теореми.

Існування безперервної неявної функції y = f (x) в околі точки (x 0, y 0) випливає з теореми існування, так як:

умова 1 гарантує існування точки, координати якої задовольняють рівняння F (x, y) = 0;

з умови 2 слід безперервність функції F (x, y) в околі точки (x 0, y 0). а з умови 3 - її монотонність поy при кожному фіксірованномx з цієї околиці.

Отже, умови 1-3 забезпечують виконання умов існування неявної функції y (x). задовольняє условіюy (x 0) = y 0 і безперервної в околиці точкіx 0.

Обчислення приватних похідних функція, заданих неявно.

При виконанні відповідних умов, рівняння задає неявно функцію. Це ж рівняння може задавати неявно функціюілі.

Похідна неявної функції. При обчисленні похідної неявної функції скористаємося правилом диференціювання складної функції. Продифференцируем рівняння:. Звідси отримаємо формулу для похідної функції, заданої неявно :. Таким же способом неважко отримати формули для приватних похідних функції декількох змінних, заданої неявно, наприклад, рівнянням:,.

Необхідні умови локального екстремуму функції кількох змінних. Локальний екстремум функцій декількох змінних. Необхідні умови безумовного локального екстремуму.

Визначення. Нехай дана функція n -змінного

Нехай дана точка M0 з координатами, точкаM0 називається локальним max (min) якщо  окр точки M0. x окр справедливо

(x  окр), окр називається безліч (Вn вимірному просторі).

Точка локальногоmaxіліminназиваются точкою екстремуму.

Необхідні умови екстремуму функції багатьох змінних.

Визначення: стаціонарної точки. Якщо функція диференційовна в точкеM0 то необхідною умовою існування екстремуму в цій точці є вимога її стаціонарності:

Стаціонарна точка - точка де всі приватні похідні по всіх аргументів рівні 0.

Доказ: Зафіксуємо всі змінні залишивши тільки x1.

фіксуючи будь-яку іншу змінну отримуємо те ж саме.

Визначення: Необхідна умова екстремуму.

У точці екстремуму функції n -змінного диференціал наближається до нуля.

Якщо локальний екстремум, якщо-незалежні

Зауваження: якщо виконано необхідна умова екстремуму то вона не обов'язково є екстремумів.

Істина: Якщо точка - стаціонарна, то вона не обов'язково - екстремум. ВЗАГАЛІ КАЖУЧИ. Екстремум ж завжди є стаціонарною точкою!

Приклад. (0,0), x> 0, y> 0  z> 0, x<0, y<0 z<0, но dz =0.