Похідна суми і різниці функцій - доказ і приклади

Наведено формулу похідної суми і різниці функцій. Наведено доказ і детально розібрані приклади застосування цієї формули.

Нехай і є функціями від незалежної змінної x. Нехай вони мають похідні в деякій області значень змінної x. Тоді, в цій області, похідна від суми (різниці) цих функцій дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій:
(1).

Доведення

Оскільки функції і мають похідні при. то існують такі межі, які є похідними цих функцій:
;
.

Розглянемо функцію y від змінної x. яка є сумою функцій і.
.
Застосуємо визначення похідної.

Тим самим ми довели, що похідна від суми функцій дорівнює сумі похідних:
.

Тим же способом можна показати, що похідна від різниці функцій дорівнює різниці похідних:
.
Це можна показати і іншим способом, застосовуючи тільки що доведене правило диференціювання суми і правило винесення постійної за знак похідної:
.

Ці два правила можна записати у вигляді одного рівняння:
(1).

Вище ми розглянули правило знаходження похідної від суми двох функцій. Це правило можна узагальнити на суму і різницю від будь-якого числа, що диференціюються.

Похідна від суми (різниці) будь-якого кінцевого числа функцій, що диференціюються дорівнює сумі (різниці) їх похідних. З урахуванням правила винесення постійної за знак похідної. це правило можна записати так:
.
Або в розгорнутому вигляді:
(2).
Тут - постійні;
- диференціюються від змінної x.

доказ слідства

Для довільного числа n можна застосувати метод індукції. Нехай рівняння (2) виконується для. Тода для маємо:

Тобто з припущення, що рівняння (2) виконується для слід, що рівняння (2) виконується для. А оскільки рівняння (2) виконується для. то воно виконується для всіх.
Слідство доведено.