Перетворення декартової системи координат на площині
Якщо загальне рівняння (5.17) задає невироджених криву другого порядку, то воно може бути приведене до канонічного виду введенням нової системи декартовій координат, зробивши поворот осей на певний кут і відповідний перенесення початку.
При перенесенні початку координат (паралельний перенос осей) координати точки площини у вихідній системі координат (старої) і координати цієї ж точки в реформованій системі (нової) зв'язані наступними формулами перетворення:
де - координати нового початку відносно початкової системи (рис. 5.16). Формули перетворення (5.22) справедливі, тільки якщо на осях обох систем обрані однакові одиниці масштабу.
Якщо в загальному рівнянні кривої другого порядку (5.17) коефіцієнт при творі координат дорівнює нулю
(), То осі вихідної системи координат паралельні осях симетрії цієї кривої, і для приведення рівняння до канонічного виду необхідно тільки зробити відповідний паралельний перенос осей в новий початок. Це можна зробити виділенням в рівнянні повних квадратів і з подальшим перенесенням початку координат в точку за формулами перетворення (5.22).
Приклад. Привести рівняння до канонічного виду і побудувати задається цим рівнянням криву.
◄ В даному рівнянні коефіцієнти. . отже, воно може ставити коло. Виділяємо в рівнянні повні квадрати:. Заміною. наводимо рівняння до канонічного виду. яке задає на площині коло радіуса. Центр цього кола знаходиться на початку нової системи координат. а в вихідної системі цей центр знаходиться в точці з координатами (рис. 5.17). Окружність стосується осі в точці. Точки перетину кола з віссю отримаємо, поклавши в вихідному рівнянні і вирішивши що виходить квадратне рівняння. . ►
Якщо в загальному рівнянні кривої другого порядку (5.17) коефіцієнт при не дорівнює нулю, то осі координат не паралельні осях симетрії кривої другого порядку. Для того щоб зробити ці осі паралельними, необхідно повернути осі координат на кут. який дорівнює в вихідної системі координат кутку між позитивним напрямом осі і кожної з осей симетрії кривої. Цей кут визначається формулою
При повороті осей (рис. 5.18) координати точки площини в реформованій системі координат (нової) і координати цієї ж точки в вихідній системі (старої) зв'язані наступними формулами перетворення:
Зворотне перетворення має вигляд:
Якщо ввести матриці. . . то перетворення (5.24) можна записати в матричній формі:
Зворотне перетворення (5.25) в матричної формі матиме вигляд:
де - матриця, зворотна матриці.
Приклад. Побудувати криву, задану рівнянням.
◄ Для даного рівняння другого порядку коефіцієнти (див. 5.17). . всі інші дорівнюють нулю. Знаходимо інваріанти кривої:. . . Так як . . . робимо висновок, що дане рівняння задає гіперболу, осі симетрії якої не паралельні осях координат, і для приведення рівняння до канонічного виду необхідний поворот осей координат. Необхідний кут повороту визначаємо за формулою (5.23). Так як . знаменник дробу в цій формулі звертається в нуль, отже,. При повороті осей координат на кут перехід від старих координат до нових буде задаватися згідно (5.25) наступними формулами перетворення:
Замінюючи в вихідному рівнянні старі координати на нові, матимемо:
