Основні поняття і залежності

Вигином стержня називається такий вид деформації, при якому в поперечних перетинах виникають згинальні моменти і перерізують сили, деформована вісь стрижня являє просторову криву. Стрижень, що працює на вигин, зазвичай називається балкою.

Плоский вигин такий вид деформації стрижня, при якому деформована вісь стрижня є плоскою кривою.

Плоский вигин називається прямим, якщо вигнута вісь лежить у вантажній (силовий) площині. Щоб вигин був плоским необхідно, щоб вантажна площину збігалася з однією з головних центральних площин інерції стержня.

Вантажний (силовий) площиною називається площина, в якій лежить вся зовнішня навантаження, включаючи реакції. Перетин вантажний площині з поперечним перерізом називається силовою лінією. Головною центральної площиною інерції стержня називається площина, що проходить через головні центральні осі всіх його поперечних перерізів. При розгляді плоского прямого вигину прийнято головну центральну площину стрижня, збігається з вантажною площиною позначати XY (де X - вісь стрижня). Тоді при плоскому прямому згині в поперечних перетинах стрижня будуть виникати перерізуюча сила і згинальний момент -. Надалі іноді індекси не ставляться, але маються на увазі. Плоский вигин називається поперечним, якщо в поперечних перетинах стрижня виникають згинальні моменти і перерізують сили. Плоский вигин називається чистим, якщо в поперечних перетинах діють тільки згинальні моменти,.

Примітка. У разі, коли вантажна площину збігається з головною центральною площиною стержня, що не є площиною симетрії стержня, крім вигину виникає ще і закручування стержня. Щоб при плоскому вигині не відбувалося додаткове закручування стержня необхідно, щоб зовнішня навантаження в кожному поперечному перерізі проходила через точку звану центром зсуву (вигину). Центр вигину завжди лежить на осі симетрії (якщо вона є) поперечного перерізу. Тому при розгляді прикладів обмежимося випадком перетинів мають вісь симетрії і навантажених в площині симетрії.

-вигинає момент вважається позитивним, якщо в розглянутому поперечному перерізі стискає верхні волокна;

-перерізуюча сила вважається позитивною, якщо прагне обертати дану частину стрижня за годинниковою стрілкою;

-розподілене навантаження вважається позитивною, якщо спрямована вгору.

Епюрами і називаються графіки ілюструють зміна цих силових факторів по довжині стрижня. Епюри і будуються по ділянках стрижня, значення і визначаються методом перетинів. Між розподіленим навантаженням q і силовими чинниками. - існують диференціальні залежності: 1) 2) 3). які використовуються як при побудові епюр, так і при їх перевірці. Наприклад, з третьої залежності випливає, що опуклість епюри моментів завжди спрямована назустріч розподіленої навантаженні.

Напруження в поперечних перетинах і умови міцності при плоскому прямому згині стрижнів.

При вигині завжди частина волокон стиснута, частина розтягнута і в стрижні є шар волокон, довжина яких не змінюється званий нейтральним шаром. Перетин нейтрального шару з поперечним перерізом називається нейтральною лінією. При плоскому прямому згині нейтральний шар перпендикулярний вантажний площині, а нейтральна лінія в перерізі перпендикулярна силової лінії і збігається з головною центральною віссю перерізу Z. При чистому вигині в поперечних перетинах виникають тільки нормальні напруги, величина яких змінюється пропорційно відстані до нейтральної лінії перетину. На нейтральній лінії нормальні напруження дорівнюють нулю.

При чистому плоскому вигині нормальні напруги - для волокон розташованих на відстані y від нейтральної лінії, розраховуються за формулою:, де - момент інерції перерізу відносно головної центральної осі перетину (або, те ж саме щодо нейтральної лінії). У формулу підставляється модуль величин y і. а знак нормальних напружень при цьому визначається характером деформації перетину, наприклад, при негативному моменті волокна верхні будуть розтягнуті і отже для них> 0. Найбільші по модулю нормальні напруги будуть виникати в найбільш віддалених від нейтральної лінії волокнах і розраховуються за формулою. де величина - момент опору перерізу вигину щодо осі Z. Умови міцності при чистому вигині запишуться у вигляді: для матеріалів мають однакову міцність на розтягування і стиснення; для матеріалів мають різну міцність на розтягування і стиснення, повинні виконуватися одночасно дві умови - і. де момент опору розтягнутих стислих волокон.

При поперечному вигині нормальні напруги в перетинах стрижня розраховуються за формулами чистого вигину крім, наближено, виникають так само дотичні напруження. Дотичні напруження в волокнах віддалених на відстані y від нейтральної лінії визначаються за формулою Журавського:. де - статичний момент відсіченої частини перерізу (що лежить вище або нижче розглянутих волокон), - ширина перетину в місці, де визначаються напруги. Є особливості у використанні формули Журавського для масивних (товстостінних) перетинів і для тонкостінних перерізів.

У товстостінних перетинах передбачається, що дотичні напруження спрямованими паралельно силової лінії (осі Y) і по напрямку діючої в перерізі. і розподілені рівномірно по ширині перетину. Такі припущення справедливі тільки для прямокутних перетинів мають ширину меншу висоти, для всіх інших форм перетинів формула Журавського є наближеною.

У тонкостінних перетинах передбачається, що дотичні напруження розподілені рівномірно по товщині стінки перетину і спрямованими паралельно середньої лінії (середня лінія ділить товщину стінки навпіл). Такі припущення не є строгими, однак, формула Журавського, дає досить точні результати за винятком місць різкої зміни товщини і напрямки стінок розтину.

При поперечному вигині в перетинах одночасно діють і нормальні і дотичні напруження, отже, напружений стан матеріалу стержня є двохосьовим (плоским). Оцінка міцності в цьому випадку повинна враховувати вестися на підставі теорій міцності.

У масивних (товстостінних) перетинів величина дотичних напружень зазвичай незначна в порівнянні з величиною нормальних напружень та оцінку міцності допускається вести як при одноосьовому напруженому стані. Таким чином, для стержня з масивним перетином при поперечному вигині крім умов міцності за нормальними напруженням вигину вважається достатнім записати умова міцності по дотичним напруженням -. Отже, крім перетинів з найбільшим изгибающим моментом потрібно розглядати перетину з максимальною перерізують силою.

У тонкостінних перетинах величина дотичних напружень може виявитися порівнянною з величиною нормальних напружень і при оцінці міцності необхідно використовувати відповідну теорію міцності. Для середньо пластичних і пластичних матеріалів зазвичай використовують III або IV - теорію міцності. Для випадку поперечного вигину умова міцності по III-їй теорії міцності -. умова міцності по IV-ой теорії міцності -. - нормальні еквівалентні напруги у відповідній теорії міцності. Небезпечними точками в перерізі будуть точки с і а також точки, де нормальні і дотичні напруження одночасно великі. Для визначення небезпечних точок перетину слід будувати епюри і для небезпечних перетинів. Небезпечними перерізами будуть перетину, де діють максимальні згинальні моменти і перерізують сили, а також перетину, де одночасно діють моменти і сили близькі до максимальних.

Проектувальний розрахунок стержнів при поперечному вигині ведеться зазвичай наближено з урахуванням тільки нормальних напруг. Уточнений розрахунок по еквівалентним напруженням (або з урахуванням дотичних напружень) виконується як перевірочний.