ортогональное проектування

Ортогональное (прямокутне) проектування є окремим випадком паралельного проектування, коли напрям проектування перпендикулярно до площини проекцій (s ^ П1). В цьому випадку проекції геометричних фігур називаються ортогональними.

Ортогональному проецированию притаманні всі властивості паралельного проектування, а також властивості, властиві тільки ортогональному проецированию.

Перше властивість. У загальному випадку ортогональна проекція відрізка завжди менше його натуральної довжини.

Якщо провести А * В || А1 В1. то ÐАА * В = 90 °. З прямокутного трикутника випливає, що АВ - гіпотенуза, А * В - катет, а гіпотенуза завжди більше катета (А * В = АВ 'Соsa),

Розглянемо окремі випадки:

Якщо a = 0 Þ | А1 В1 | = | АВ |, тобто проекція дорівнює самому відрізку.

Якщо a = 90 ° Þ А1 = В1, тобто проекція відрізка - точка.

Друге властивість: теорема про проектування прямого кута

Якщо одна сторона прямого кута паралельна який-небудь площині проекцій, а друга сторона не перпендикулярна їй, то на цю площину проекцій прямий кут проектується без спотворення.

площину Ф = АВ Ç ВВ1

площину S = ВС Ç ВВ1

Третя властивість. ортогональна проекція кола в загальному випадку є еліпс.

Укладемо окружність в площину S, S Ù П1 = a, якщо 0

АВ ^ СD - пов'язані діаметри, нехай АВ || П1

С1 D1 = СD 'cоsa - мала вісь еліпса.

Все хорди окружності паралельні СD проектуються з коефіцієнтом стиснення cоsa і діляться віссю А1 В1 навпіл, тобто ортогональна проекція кола, в загальному випадку, є замкнута центрально симетрична крива другого порядку, що має дві взаємно перпендикулярні осі.

1. Якщо S || П1. то окружність (k) - проектується без спотворення.

2. Якщо S ^ П1. тобто Ða = 90 °, то окружність (k) - пряма лінія, рівна діаметру.

У машинобудівних кресленнях використовується метод прямокутних проекцій. Тому подальше вивчення курсу будемо вести, використовуючи метод ортогонального проектування.

Щоб однозначно вирішити два основні завдання курсу нарисної геометрії, креслення повинні відповідати таким вимогам:

1. Простота і наочність;

2. Оборотність креслення.

Розглянуті методи проектування з використанням однокартінних креслень дозволяють вирішувати пряму задачу (тобто за даним оригіналу побудувати його проекцію). Однак, зворотну задачу (тобто по проекції відтворити оригінал) вирішити однозначно неможливо. Це завдання допускає незліченна безліч рішень, тому що кожну точку А1 площині проекцій П1 можна вважати проекцією будь-якої точки проецирующего променя l А. проходить через А1. Таким чином, розглянуті однокартінние креслення не володіють властивістю оборотності.

Для отримання оборотних однокартінних креслень їх доповнюють необхідними даними. Існують різні способи такого доповнення. Наприклад, креслення з числовими відмітками.

Спосіб полягає в тому, що поряд з проекцією точки А1 задається висота точки, тобто її відстань від площини проекцій. Задають, також, масштаб. Такий спосіб використовується в будівництві, архітектурі, геодезії і т. Д. Однак, він не є універсальним для створення креслень складних просторових форм.

У 1798 році французький геометр-інженер Гаспар Монж узагальнив накопичені до цього часу теоретичні знання і досвід і вперше дав наукове обгрунтування загального методу побудови зображень, запропонувавши розглядати плоский креслення, що складається з двох проекцій, як результат поєднання двох взаємно перпендикулярних площин проекцій. Звідси бере початок принцип побудови креслень, яким ми користуємося і понині.

Поставимо перед собою завдання побудувати проекції відрізка [AB] на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій П1 і П2.