Ортогональний базис - студопедія

Тут - символ Кронекера.

Доведемо наступне твердження.

Теоремa 9.1. У всякому n-вимірному евклідовому просторі існує ортонормованій базис.

Доведення. Нехай x 1. x 2, ..., xn - довільний базис простору V. Покладемо. Нехай далі. де число підберемо так, щоб вектори v 2 і u 1 були ортогональні, т. е.

Так як . то звідси знаходимо, що

При цьому значенні вектор ортогонален u 1. нормуємо v 2. отримуємо, що вектори і u 1 утворюють ортонормированном пару. Далі, вважаючи і підбираючи і так, щоб виконувалися умови і. з урахуванням ортонормірованності векторів u 1 і u 2. отримуємо

Пронормувати v 3. отримаємо вектор. який разом з u 1 і u 2 утворює систему трьох ортонормованих векторів. Продовживши цей процес, після n кроків отримаємо n ортонормованих векторів u 1. u 2, ..., un. які утворюють ортонормованій базис.¨

Зазначений в теоремі 9.1 алгоритм побудови ортонормированного базису називається процесом ортогоналізації Грама - Шмідта *, який, з огляду на його складність, розглянемо більш докладно.

Приклад 3. ортонормированном вектори x 1 = (1, 0, 0), x 2 = (- 2, 1, 2) і x 3 = = (1, - 1, 0) в R 3 зі скалярним твором, заданим формулою ( 9.1).

Знайдемо вираз скалярного твори в координатах для векторів x і y. заданих в довільному ортонормированном базисі евклідового простору V.

вектори з V. Тоді в силу аксіом 2 ° і 3 ° з §9.1 отримаємо

Отже, в ортонормированном базисі скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків однойменних координат цих векторів.

З'ясуємо зміст координат довільного вектора x в ортонормированном базисі.

Теоремa 9.2. Координати вектора в ортонормированном базисі рівні ска-лярного добутку цього вектора на відповідні базисні вектори.

Таким чином, координати вектораxв ортонормированном базисі рівні його проекція на відповідні базисні вектори.

являє собою розкладання довільного вектора x в ортонормированном базисі u 1. u 2, ..., un евклідового простору.