Область збіжності функціонального ряду - студопедія

Ряд називається функціональним. якщо його членами є функції від деякого аргументу x:

При конкретних значеннях x. підставляється в ряд (3), виходять різні числові ряди, які можуть сходитися чи розходитися. Сукупність усіх значень x. при яких функціональний ряд (3) сходиться, називається областю збіжності функціонального ряду. Для деяких x ряд може сходитися абсолютно, для деяких умовно. Тому розрізняють також області абсолютної і умовної збіжності функціонального ряду.

При знаходженні областей збіжності можна використовувати всі відомі ознаки збіжності. Як це робиться, розглянемо на конкретних прикладах.

Приклад 14. Знайти область збіжності ряду.

Рішення. Даний ряд є нескінченну геометричну прогресію зі знаменником. Так як прогресія сходиться лише при. то даний ряд сходиться, і до того ж абсолютно, при. тобто . і, отже, нерівність визначає область збіжності вихідного ряду.

Приклад 15. Знайти область збіжності ряду.

Рішення. При збіжність ряду очевидна. Нехай. Застосуємо ознаку Даламбера. І так як ця ознака можна застосовувати лише для рядів з додатними членами, то досліджуємо ряд відразу на абсолютну збіжність. тут

Ряд сходиться, і до того ж абсолютно, при. При ряд розходиться. При ознака Даламбера відповіді не дає, і, отже, при ряд потрібно досліджувати окремо. При виходить гармонійний ряд. він розходиться. При виходить сходиться ряд Лейбніца. Таким чином, область збіжності даного ряду визначається нерівністю.

Приклад 16. Знайти область збіжності ряду.

Рішення. Даний ряд - нескінченна геометрична прогресія з знаменником. Отже, ряд розходиться при всіх дійсних значеннях x.

Приклад 17. Знайти область збіжності ряду.

Рішення. Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність за допомогою радикального ознаки Каші. тут;

Отже, ряд сходиться абсолютно в нескінченному проміжку. Цим нерівністю і визначається область збіжності даного ряду.

Приклад 18. Знайти область збіжності ряду.

Рішення. Застосовуємо ознака Даламбера. У нас; .

При збіжність ряду очевидна, то робимо висновок, що при всіх ряд сходиться, і до того ж абсолютно. При виходять ряди виду. що не відповідають необхідному ознакою збіжності і, отже, що розходяться. Таким чином, область збіжності даного ряду складається з усіх.

Приклад 19. Знайти область збіжності ряду.

Рішення. При всіх x справедливо нерівність. Ряд із загальним членом сходиться. Отже, даний функціональний ряд сходиться абсолютно при всіх x. згідно з першим ознакою порівняння.