Нормальна сторінка без назви

Завдання № 9.Условний екстремум функції.

Функціяімеет умовний максимум (мінімум) в точкееслі існує така околиця точкідля всіх точок якої, задовольняють рівнянням связівиполняется нерівність.

Дослідження функції на умовний екстремум зводять до дослідження на звичайний екстремум функції Лагранжа

Константиназивают множителями Лагранжа.

Необхідні умови умовного екстремуму виражаються системою

Рішення сістемидаёт координати точки (або системи точок), в якій можливий умовний екстремум.

Достатні умови умовного екстремуму випливають з дослідження на знакпрі умови, що діфференціалиудовлетворяют рівнянням

Точніше кажучи, функціяімеет умовний максимум (мінімум) в точці, якщо для всіляких наборів, які відповідають (10.2), виконується нерівність

Прімер9.1Найті умовний екстремум функцііz = 2x + 3y, за умови

Рішення: Складемо функцію Лагранжа

Система має два рішення

Пріпоетому функціяz = 2x + 3yв точкеімеет умовний мінімум, а пріследовательно функціяz = 2x + 3yімеет в точкеусловний максимум.

Приклад 9.2.Найті умовні екстремуми функцііпрі наявності обмеження

Рішення: Побудуємо функцію Лагранжа

Стаціонарні точки визначимо із системи

Помножимо перше рівняння наx, а друге - наy. Після обчислення отримаємо

Якщо, то з перших двох рівнянь сістемиx = y = 0.

Але такі значення переменнихxіyне задовольняють рівняння зв'язку. Значить, і так якось з (10.3) імеемx = y. Підставляючи це в рівняння зв'язку, отримуємо откудаx = y = 1. Таким чином, ізІтак, єдина стаціонарна точка функції Лагранжа.

тоді дляпрі

З рівняння зв'язку пріx = yнаходім співвідношення для діфференціаловdxіdy, dx + dy = 0.

Тому пріa> 0в точкефункція має умовний максимум, а пріa <0–условный минимум. Экстремальное значение равно