Неоднорідні диференціальні рівняння 2ого порядку

Визначення та формули неоднорідних ДУ другого порядку

Лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами називається диференціальне рівняння виду

де p і q - довільні дійсні числа, а права частина - неперервна функція на інтервалі інтегрування X.

Загальне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння (1) з безперервною на інтервалі X функцією дорівнює сумі загального рішення відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння

і якого-небудь приватного вирішення вихідного неоднорідного рівняння (1), тобто

Методи знаходження приватного рішення неоднорідних ДУ другого порядку

Існує кілька методів знаходження приватного рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами (1). Ці методи вибираються в залежності від виду правої частини - функції.

1) Якщо функція являє собою многочлен n-го ступеня

то приватне рішення рівняння (1) шукається у вигляді

Тут - многочлен ступеня n з невизначеними коефіцієнтами (які підлягають визначенню), а s - кратність кореня характеристичного рівняння однорідного рівняння (2) (або тобто кількість коренів характеристичного рівняння, рівних нулю).

Так як - приватне рішення рівняння (1), то коефіцієнти, що визначають многочлен, можна знайти методом невизначених коефіцієнтів з рівності

використавши той факт, що два многочлена рівні, якщо рівні коефіцієнти при відповідних ступенях незалежної змінної.

Знайти рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення заданого рівняння одно суму загального рішення відповідного однорідного рівняння і будь-якого приватного рішення неоднорідного рівняння, тобто

Записуємо характеристичне рівняння і знаходимо його корені:

Отримали різні дійсні корені, а тому шукане рішення

Знайдемо тепер приватне рішення неоднорідного рівняння. Оскільки права частина вихідного рівняння являє собою поліном другого ступеня і один з коренів характеристичного рівняння дорівнює нулю (, значить, показник ступеня s - кратність кореня - дорівнює одиниці), то приватне рішення

де коефіцієнти невідомі. Для їх визначення підставимо цю функцію в заданий неоднорідне диференціальне рівняння:

А тоді шукане приватне рішення

Таким чином, загальне рішення заданого диференціального рівняння

Заданому рівнянню відповідає лінійне однорідне диференціальне рівняння

А тоді загальне рішення однорідного рівняння

Оскільки права частина - функція - вихідного неоднорідного рівняння являє собою твір многочлена другого ступеня на експоненту, то приватне рішення шукаємо у вигляді

В даному випадку, так як серед коренів характеристичного рівняння однорідного рівняння немає.

Підставляємо це вираз у вихідне диференціальне рівняння:

Ділимо на і прирівнюємо коефіцієнти при однакових показниках ступеня незалежної змінної x. В результаті отримуємо систему лінійних рівнянь для знаходження невідомих коефіцієнтів і C:

Отже, шукане приватне рішення

А тоді загальне рішення вихідного неоднорідного диференціального рівняння

Спочатку знайдемо спільне рішення відповідного однорідного рівняння. Для цього складемо і вирішимо його характеристичне рівняння:

Оскільки коріння характеристичного рівняння - це комплексно зв'язані числа, то рішення однорідного рівняння

Так як права частина вихідного неоднорідного рівняння не є функцією спеціального виду, то далі варіюємо константи постійні, вважаючи їх функціями незалежної змінної:. Тоді загальне рішення неоднородногоуравненія будемо шукати у вигляді:

Для знаходження невідомих функцій складаємо систему (4):

Скоротимо обидва рівняння на:

Знайдемо вирішення цієї системи методом Крамера (нагадаємо, що невідомими в цій системі є функції і). Визначник матриці системи (визначник Вронського):

Оскільки, то система має єдине рішення. Обчислюємо допоміжні визначники:

З першої рівності інтеграцією отримуємо:

Таким чином, шукане рішення вихідного рівняння