Наближені обчислення, математика

Про наближених обчисленнях

Числа, з якими ми маємо справу в житті, бувають двох типів. Одні в точності дають справжню величину, інші - тільки приблизно. Перші називають точними, другі -прібліженнимі. Часто ми свідомо беремо наближене число замість точного, так як останнім нам не потрібно. У багатьох же випадках точне число неможливо знайти по суті
питання.

Приклад 1. У цій книзі 512 сторінок; число 512 - точне.

Приклад 2. У шестикутнику 9 діагоналей; число 9 - точне.

Приклад 3. Продавець зважив на автоматичних вагах 50 г масла. Число 50 - наближене, ток
як ваги нечутливі до збільшення або зменшення ваги на 0,5 м

Результат дій з наближеними числами є теж наближене число. При цьому неточними можуть виявитися і ті цифри, які отримані діями над точними цифрами даних чисел.

Приклад 5. перемножуємо наближені числа 60,2 і 80,1. Відомо, що всі виписані цифри
вірні, так що справжні величини можуть відрізнятися від наближених лише сотими, тисячними і т. д. частками. У творі отримуємо 4822,02. Тут можуть бути невірними не тільки цифри сотих і десятих, а й цифри одиниць. Нехай, наприклад, співмножники отримані округленням точних чисел 60,25 і 80,14. Тоді точне твір буде 4828,435, так що цифра одиниць в наближеному творі (2) відрізняється від точної цифри (8) на 6 одиниць.

Теорія наближених обчислень дозволяє:

1) знаючи ступінь точності даних, оцінити ступінь точності результатів ще до виконання дій;

2) брати дані з належної ступенем точності, достатньої, щоб забезпечити необхідну точність результату, але не занадто великий, щоб позбавити обчислювача від непотрібних розрахунків;

3) раціоналізувати сам процес обчислення, звільнивши його від тих викладок, які не вплинуть на точні цифри результату.

Спосіб запису наближених чисел

При наближених обчисленнях відрізняють запис 2,4 від 2,40, запис 0,02 від 0,0200 і т. Д. Запис
2,4 означає, що вірні тільки цифри цілих і десятих; справжнє ж значення числа може бути, наприклад, 2,43 або 2,38 (при відкиданні цифри 8 відбувається округлення у бік збільшення попередньої їй цифри; див. наступний параграф). Запис 2,40 означає, що вірні й соті частки; справжнє число може бути 2,403 або 2,398, але не 2,421 і не 2,382.

Те ж відмінність проводиться і для цілих чисел. Запис 382 означає, що всі цифри вірні; якщо ж за останню цифру ще не певно, то число округляється, але записується не у вигляді 380, а у вигляді 38 • 10. Запис же 380 означає, що остання цифра (0) вірна. Якщо в числі 4720 вірні лише перші дві цифри, його потрібно записати у вигляді 47 • 102; це число можна також записати у вигляді 4,7 • 103 і. т. д.

Значущими цифрами називаються всі вірні цифри числа крім нулів, що стоять попереду числа. Наприклад, в числі 0,00385 три значущі цифри; в числі 0,03085 чотири значущі цифри; в числі 2500 - чотири; в числі 2,5 • 103 - дві. Число значущих цифр деякого числа називається його значності.