Множення тривимірних матриць вища алгебра

Матриця за визначенням - це функція.

Що заважає оголосити 3-мірну матрицю як відображення, наприклад?

Матриця - це не просто функція, яку ви записали. Для матриць визначені операції:
- складання, множення на число, множення матриць, транспонування;
- ділення і стикування (конкатенації), перестановки стовпців і рядків;
- чогось ще, може бути.
Для "3- і -мірних матриць" їх незрозуміло, як узагальнювати. Ось що заважає.

Ну і визначити додавання таких матриць і множення на скаляр як Поточечное додавання і множення, відповідно.

Якщо обмежитися тільки операціями додавання і множення на скаляр, то вийдуть банальні вектори (розмірності). Матриці не є векторами (точніше, не є "просто векторами", а окремим поняттям) саме тому, що мають інші операції і властивості.

Найбільш природно вони узагальнюються поняттям тензорів. При цьому деякі властивості матриць зникають, як не дуже зручні (вони взагалі викликані лінійної записом формул).