Математика для блондинок куб і кут між прямими

Зараз вирішимо завдання про куб і кут між прямими. Завдання звучить так:

Точка Е - середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1. Знайдіть кут між прямими DE і BD1.

Для початку потрібно спорудити конструкцію куба і прикрасити її буквами позначень. Потім спробуємо розібратися, чого треба цим старцям від математики. Малюємо куб і прямі лінії.

Куб і прямі лінії

Вийшло, що одна пряма лінія збігається з діагоналлю куба, друга пряма лінія проходить через бічну грань куба. Математики такі лінії називають перехресні прямі. Кут між перехресними прямими визначається (не в сенсі математичне визначення типу "бла-бла-бла", а коли конкретна справа робиться) як кут між пересічними прямими, які паралельні даними перехресних прямих. Це не я такий розумний, це у мене книжка розумна є, там і вичитав.

Візьмемо ту пряму, яка на бічній грані і проведемо паралельну їй пряму лінію, що проходить через вершину D1. В цьому випадку ми отримали дві пересічні прямі, для яких уже можна визначити кут.

Перехресні та пересічні прямі

Для визначення кута нам потрібні розміри куба. Без цього математика безсила. Оскільки, за умовою задачі, розміри куба нам не задані, ми можемо самі вибрати будь-який, благо все три розміри у куба однакові. Приймемо довжину ребра нашого куба за одиницю. Вийшов куб у власному соку, тобто у власних одиницях виміру. Весь цей математичний фокус полягає в тому, що кут між заданими нам прямими абсолютно не залежить від розмірів куба. І в великому кубі, і в маленькому кубику кути між цими прямими будуть однакові.

Далі все просто, як в реанімації. Призначаємо пацієнту, тобто кубу:

1. Дві теореми Піфагора для двомірного простору.
2. Одну теорему Піфагора для тривимірного простору.
3. Одну теорему косинусів.
4. Одну таблицю косинусів.

Тепер розберемося, до яких місцях на тілі куба все це потрібно прикладати.

Два прямокутних трикутника, діагональ куба, шуканий кут в трикутнику

Міркуємо від кінця до початку. По таблиці косинусів ми можемо знайти значення кута в градусах. Значення косинуса кута можна знайти за теоремою косинусів, якщо знати розміри сторін синеньке трикутника з малюнка вище. По теоремі Піфагора для тривимірного простору ми можемо знайти діагональ куба - це одна зі сторін трикутника. Дві інші сторони трикутника можна знайти на гранях куба за звичайною (двомірної) теоремі Піфагора. А ось для застосування теореми Піфагора нам необхідні числові розміри куба. Адже просто слово "ребро" в другу ступінь звести не можливо. Ось для цього ми і прийняли на самому початку розмір ребра рівним одиниці.

Ми проутюжить наше рішення від початку до кінця і від кінця до початку. Особисто у мене воно десь по середині і зрослося, на теоремі Піфагора. Що б там не затверджували наші сучасні математики, а математичних інструментів могутніше тригонометрії і теореми Піфагора вони так і не створили.

Для повного щастя нам потрібно ще розглянути теорему косинусів. Адже тупо записати її можуть багато, а ось застосовувати на практиці цей калейдоскоп символів потрібно ще вміти. Подивіться, як букви в формулах переливаються! Це і є первозданна краса математики.

Що таке математична функція арккосинус? Це дуже розумний вираз, яким нас лякають математики. А фактично це наша голова та таблиця косинусів перед очима. Або спеціальна кнопочка на калькуляторі. Тільки замість команди "Бобик, фас!" (Косинус - знайти число за значенням кута), потрібно виконувати команду "Фас, покусані Бобика!" (Арккосинус - знайти значення кута по числовим значенням косинуса).

Нехай у нас невідомий кут буде на прізвисько "гамма", а діагональку куба ми обізву "а". Відрізок прямої, який розташований на межі куба прямо перед нами, буде називатися "з", а на межі зліва - "b". Ось тепер можна поганяти циферки і отримати числове рішення задачі.

Обчислення сторін трикутника для формули